Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC\lt AB$ y $BC\lt AC$. Consideremos los puntos $P$ y $Q$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $P\neq B$, $Q\neq C$ y $BQ=BC=CP$. Sean $T$ el circuncentro del triángulo $APQ$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $S$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$. Probar que los puntos $T$, $H$ y $S$ están en una misma recta.

Sea $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ el conjunto de los enteros positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para cualquier pareja de enteros positivos $a$ y $b$, se cumplen las siguientes dos condiciones:

• $f(ab) = f(a)f(b)$;
• al menos dos de los números $f(a)$, $f(b)$ y $f(a+b)$ son iguales.

Se dice que una sucesión infinita de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es húngara si cumple las siguientes dos condiciones:

• $a_1$ es un cuadrado perfecto;
• para todo entero $n\geq 2$, $a_n$ es el menor entero positivo tal que \[na_1 +(n-1)a_2 +\ldots+2a_{n−1}+a_n\] es un cuadrado perfecto.

Probar que si $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es una sucesión húngara, entonces existe un entero positivo $k$ tal que $a_n=a_k$ para todo entero $n\geq k$.

Para cada entero $n\geq 2$, determinar el mayor entero positivo $N$ con la propiedad de que existen $N+1$ números reales $a_0, a_1,\geq, a_N$ verificando las siguientes dos condiciones:

• $a_0+a_1 =-\frac{1}{n}$;
• $(a_k+a_{k−1})(a_k+a_{k+1}) = a_{k−1}-a_{k+1}$ para todo $1\leq k\leq N-1$.

Dados $n$ y $k$ enteros positivos, sea $f(n,2k)$ el número de formas en que un tablero de tamaño $n\times 2k$ puede ser completamente cubierto por $nk$ fichas de dominó de tamaño $2\times 1$ (por ejemplo, $f(2,2)=2$ y $f(3,2)=3$). Determinar todos los enteros positivos $n$ tales que para todo entero positivo $k$, el número $f(n,2k)$ es impar.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sea $X$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$; sea $Y$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BCD$; sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle BCD$ y $\angle CDA$ y sea $W$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CDA$ y $\angle DAB$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$. Supongamos además que los puntos $O$, $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ son distintos. Demostrar que $O$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia si y sólo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia.