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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.

XXXVIII Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas — 2023

Sesión 1 —  8 de septiembre de 2023

Problema 625
OIM, 2023-P1
Sea $n$ un entero positivo. Se realizan las $35$ multiplicaciones: \[1\cdot n,\quad 2\cdot n,\quad\ldots \quad 35\cdot n.\] Demostrar que en alguno de estos resultados aparece al menos una vez el dígito $7$.
pistasolución 1info
Pista. Un poco bastante de fuerza bruta sobre los dos últimos dígitos de $n$.
Solución. Sean $a$ y $b$ los dígitos de las unidades y decenas de $n$, respectivamente.
  • Si $a=1$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $7\cdot n$.
  • Si $a=3$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $9\cdot n$.
  • Si $a=7$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $1\cdot n$.
  • Si $a=9$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $3\cdot n$.
Para el caso $a=2$:
  • Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $35\cdot n$.
  • Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
  • Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
  • Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $18\cdot n$.
  • Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
  • Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.
  • Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
  • Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
  • Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $7\cdot n$.
  • Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
Para el caso $a=4$, tenemos
  • Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $18\cdot n$.
  • Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
  • Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
  • Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
  • Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
  • Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
  • Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
  • Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
  • Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
  • Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
Para el caso $a=5$, tenemos:
  • Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $15\cdot n$.
  • Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
  • Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
  • Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
  • Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
  • Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
  • Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $15\cdot n$.
  • Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
  • Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
  • Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
Para el caso $a=6$, tenemos:
  • Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
  • Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.
  • Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
  • Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
  • Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
  • Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
  • Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $33\cdot n$.
  • Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
  • Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
  • Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
Para el caso $a=8$, tenemos:
  • Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
  • Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
  • Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $17\cdot n$.
  • Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
  • Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
  • Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
  • Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
  • Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
  • Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
  • Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.
Finalmente, si $a=0$, el problema se reduce a los casos anteriores ya que podemos eliminar todos los ceros a la derecha sin alterar el resultado.

Nota. Da más pereza pensarlo que ponerse a hacerlo. Si no hay errores en los cálculos, se debería poder completar la solución sobradamente en menos de media hora. En realidad, no hay que hacer las multiplicaciones, sino sumar el número consigo mismo repetidas veces (sólo las dos últimas cifras), hasta que una de ellas sea $7$. En todos los casos de la solución se ha indicado el menor factor que resuelve el problema.

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Problema 626
OIM, 2023-P2
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que: \[2023f(f(x)) + 2022x^2 = 2022f(x) + 2023[f(x)]^2 + 1\] para todo entero $x\in\mathbb{Z}$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 627
OIM, 2023-P3
Ana y Beto juegan con una balanza de dos platillos. Tienen $2023$ pesas etiquetadas con sus pesos, que son los números $1,2,\ldots, 2023$ sin que ninguno de ellos se repita. Cada jugador, en su turno, elige una pesa que todavía no estaba colocada en la balanza y la coloca en el platillo con menos peso en ese momento. Si la balanza está en equilibrio, la coloca en cualquier platillo. Ana comienza el juego, y siguen de esta manera alternativamente hasta colocar todas las pesas. Ana gana si al finalizar la balanza se encuentra equilibrada; en caso contrario, gana Beto. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.
Sin pistas
Sin soluciones
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Sesión 2 —  9 de septiembre de 2023

Problema 628
OIM, 2023-P4
Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos en el plano. Para cada punto $A$ del plano que no pertenece a la recta $BC$, sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$. Hallar el lugar geométrico de los puntos $A$ tales que $\angle BAC + \angle BGC = 180^\circ$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 629
OIM, 2023-P5
Una sucesión $P_1,P_2,\ldots,P_n$ de puntos en el plano (no necesariamente distintos) es carioca si existe una permutación $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de los números $1,2,\ldots,n$ para la que los segmentos \[P_{a_1}P_{a_2},\quad P_{a_2}P_{a_3}, \ldots\quad P_{a_n}P_{a_1}\] son todos de la misma longitud. Determinar el mayor número $k$ tal que para cualquier sucesión de $k$ puntos en el plano, se pueden añadir $2023-k$ puntos de modo que la sucesión de $2023$ puntos es carioca.
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Sin soluciones
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Problema 630
OIM, 2023-P6
Sea $P$ un polinomio de grado mayor o igual que $4$ con coeficientes enteros. Un entero $x$ se llama $P$-representable si existen números enteros $a$ y $b$ tales que $x = P(a)-P(b)$. Demostrar que, si para todo $N\geq 0$, más de la mitad de los enteros del conjunto $\{0,1,2,\ldots,N\}$ son $P$-representables, entonces todos los enteros pares son $P$-representables o todos los enteros impares son $P$-representables.
Sin pistas
Sin soluciones
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