Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un enero positivo con $k$ dígitos. Un número $m$ se llama alero de $n$ si existen dígitos $a_1,a_2,\ldots,a_k$ todos ellos distintos entre sí y distintos de cero, tales que $m$ se obtiene añadiendo el dígito $a_i$ al $i$-ésimo dígito de $n$ y ninguna de estas sumas excede $9$. Encontrar el menor $n$ que es múltiplo de $2024$ que tiene un alero que también es múltiplo de $2024$.

Nota. Por ejemplo, si $n=2024$ y elegimos $a_1=2$, $a_2=1$, $a_3=5$ y $a_4=3$, entonces $m=4177$ es un alero de $n$, pero si elegimos los dígitos $a_1=2$, $a_2=1$, $a_3=5$ y $a_4=6$, entonces no obtenemos un alero ya que $4+6$ se pasa de $9$.

Tenemos una fila con 2024 casillas. Ana y Beto juegan por turnos, siendo Ana la primera. En cada turno, la persona que juega selecciona una casilla vacía y pone en ella un dígito. Una vez que las 2024 casillas se rellenan, se considera el número que se forma de izquierda a derecha, ignorando todos los ceros a la izquierda. Beto gana si el número resultante es múltiplo de 99 y, en caso contrario, gana Ana. Determinar qué jugador tiene una estrategia ganadora y describirla.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $J$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. La recta $AD$ corta a $\Gamma$ de nuevo en $P$. La circunferencia circunscrita del triángulo $EFP$ corta a $\Gamma$ de nuevo en $Q$. Sea $K$ el segundo punto de intersección de $JH$ con $\Gamma$. Demostrar que $K$, $D$ y $Q$ están alineados.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el segundo punto de intersección de $AI$ con $\Gamma$. La recta paralela a $BC$ por $I$ corta a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las rectas $PD$ y $QD$ cortan a $BC$ en $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que los triángulos $IEF$ y $ABC$ son semejantes.

Sean $x$ e $y$ números reales positivos que cumplen el siguientes sistema de ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\left(2+\frac{5}{x+y}\right)=3\\ \sqrt{y}\left(2-\frac{5}{x+y}\right)=2\end{array}\right.\]

Sean $n\geq 2$ y $k\geq 2$ enteros. Un gato y un ratón juegan a Wim, que es un juego de quitar piedras. El juego empieza con $n$ piedras y los jugadores quitan piedras por turnos, empezando por el gato. En cada turno, se les permite quitar entre $1$ y $k$ piedras y el jugador que no pueda quitar piedras en su turno pierde. Un mapache piensa que Wim es muy aburrido y crea Wim 2, que es el mismo juego Wim pero con la siguiente regla adicional: no se puede quitar el mismo número de piedras que quitó el otro jugador en el turno anterior.

Encontrar todos los valores de $k$ tales que para todo $n$ el gato tiene una estrategia ganadora en Wim si y solo si la tiene en Wim 2.