Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En la pizarra están escritos los números $1,2,\ldots,n-1,n$. Un movimiento consiste en elegir dos de ellos y sumar a ambos un mismo entero positivo. ¿Para qué valores de $n$ será posible, tras repetir ese movimiento varias veces, que los números de la pizarra sean todos iguales?

Se consideran los números reales $a,b,c,d$, distintos entre sí dos a dos. Si $a$ y $b$ son soluciones de la ecuación $x^2-10cx-11d=0$ y $c$ y $d$ son las soluciones de $x^2-10ax-11b=0$, calcular el valor de la suma $a+b+c+d$.

En el triángulo $\Delta OFE$, el ángulo $\angle OFE$ es agudo. Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasando por $F$ es tangente al lado $OE$ en el punto $E$. Sea $M$ el punto medio del lado $OE$, y sea $P$ el punto en el que la recta $FM$ vuelve a cortar a la circunferencia $\Gamma$. Por último, sea $Q$ el punto en el que la recta $OP$ corta de nuevo a $\Gamma$. Demostrar que los ángulos $\angle OFE$ y $\angle EFQ$ son iguales.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ y $m$ tales que $3^m+7^n$ es un cuadrado perfecto.