Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ el número de divisores enteros positivos de $n$. Demostrar que, para todos los pares de enteros positivos $(a,b)$, se tiene que \[d(a)+d(b)\leq d(\mathrm{mcd}(a,b))+d(\mathrm{mcm}(a,b))\] y determinar para qué pares $(a,b)$ se tiene la igualdad.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $M$ y $n$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente. Dado un punto $D$ en el interior del segmento $BC$ tal que $DB\lt DC$, sean $P$ y $Q$ las intersecciones de $DM$ y $DN$ con $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $R\neq A$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAQ$ y $AMN$. Si $K$ es el punto medio de $AR$, demostrar que $\angle MKN=2\angle BAC$.

Sea $O$ un punto fijo en el plano. Tenemos $2024$ puntos rojos, $2024$ puntos amarillos y $2024$ puntos verdes en el plano, no habiendo tres de ellos alineados y siendo todos distintos de $O$. Se sabe que para cualesquiera dos colores, la envolvente convexa de los puntos que son de alguno de estos dos colores contiene a $O$ (en el interior o en el borde). Diremos que un punto rojo, un punto amarillo y un punto verde forman un triángulo boliviano si dicho triángulo contiene a $O$ en el interior o en el borde. Hallar el mayor entero positivo $k$ tal que, independientemente de como estén colocados los puntos, siempre hay al menos $k$ triángulos bolivianos.

Coloreamos algunos puntos del plano de rojo de forma que si $P$ y $Q$ están coloreados y $X$ es un punto tal que el triángulo $PQX$ tiene ángulos de $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ (en algún orden), entonces $X$ también está coloreado. Si tenemos tres puntos $A,B,C$ coloreados, demostrar que el baricentro del triángulo $ABC$ también está coloreado.

Sea $n\geq 2$ un entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ enteros positivos fijos (no necesariamente distintos) de forma que $\mathrm{mcd}(a_1,a_2,\ldots,a_n)=1$. En una pizarra se escriben todos los números junto con un entero positivo $x$. Un movimiento consiste en elegir dos números $a\gt b$ de los $n+1$ números de la pizarra y reemplazarlos con $a-b$ y $2b$. Encontrar todos los posibles valores de $x$ (en función de $a_1,a_2,\ldots,a_n$) para los que es posible hacer que todos los números escritos en la pizarra sean iguales después de un número finito de movimientos.

Hallar todos los conjuntos infinitos $A$ de enteros positivos que cumplen que \[\Bigl\lfloor\frac{a}{b}\Bigr\rfloor\in A\text{ para cualesquiera } a,b\in A\text{ con }a\geq b.\]