Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos enteros distintos $u$ y $v$ están escritos en la pizarra. Realizamos una serie de pasos. En cada paso hacemos una de las siguientes acciones:

• Si $a$ y $b$ son enteros distintos en la pizarra, entonces podemos escribir $a+b$ en la pizarra, si no está ya escrito.
• Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros distintos en la pizarra y $x$ es un entero que satisface $ax^2 +bx+c = 0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya escrito.

Determinar todas las parejas iniciales de números $(u,v)$ para las cuales cualquier entero se puede escribir en la pizarra después de un número finito de pasos.

Sea $ABC$ un triángulo con $AC\gt AB$ y denotamos su circunferencia circunscrita por $\Omega$ y su incentro por $I$. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de intersección de la circunferencia inscrita con los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos en los arcos más cortos $DF$ y $DE$ de la circunferencia inscrita, respectivamente, tales que $\angle BXD=\angle DYC$. Las rectas $XY$ y $BC$ se cortan en $K$. Sea $T$ el punto en $\Omega$ tal que $KT$ es tangente a $\Omega$ y $T$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$. Demostrar que las rectas $TD$ y $AI$ se cortan en $\Omega$.

Decimos que un entero positivo $n$ es peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demostrar que, para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple que \[\mathrm{mcd}(A, B, C, D) = 1.\]

Para una sucesión $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i, a_j)$ con $1\leq i\lt j\leq n$ es interesante si existe una pareja $(a_k, a_\ell)$ de enteros con $1\leq k\lt\ell\leq n$ tal que \[\frac{a_{\ell}-a_k}{a_j-a_i}=2.\] Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes dos condiciones:

• $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos,
• si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces \[\mathrm{mcd}(f(x), f(y))\gt f(\mathrm{mcd}(x,y)).\]

Hallar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(0),P(1),P(2),\ldots, P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.