Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrado, $O$ su centro y $M$ el punto medio de $AB$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de la recta $OA$ con la circunferencia que pasa por $M$, $O$ y $D$. Sea $F$ la intersección de la recta $EM$ con la recta que pasa por $O$ y es paralela a $AB$. Demostrar que $C,D,E,F$ son concíclicos.

Determinar el número de enteros $k$ para los que existen enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_{2025}$ (no necesariamente distintos) tales que \[\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\ldots+\frac{2025}{a_{2025}}=k.\]

Sea $n\gt 2$ un entero. Hay $n$ fichas dispuestas alrededor de un círculo. Inicialmente $n-1$ de ellas son negras y una es blanca. Fernando juega con estas fichas haciendo ciertos movimientos no simultáneos. Un movimiento consiste en elegir dos fichas consecutivas negras y una blanca que sea adyacente a una de ellas y cambiar los colores de estas tres fichas. Los dos movimientos posibles se muestran en la figura de abajo.

Fernando continúa hasta que no puede hacer más movimientos. Para cada valor de $n$, determinar el número mínimo de fichas negras que Fernando puede dejar al final del juego.

Ana y Betty visitan un parque nacional que consiste en una red de caminos que conectan $N$ estaciones, siendo $N\gt 1$ un entero. Entre dos estaciones consecutivas siempre hay dos caminos que las conectan, tal y como se muestra en la figura. Juegan de la siguiente manera:

• Ana y Betty empiezan en puntos opuestos del parque.
• Cada hora, cada una de ellas elige uno de los dos o cuatro caminos que salen de la estación en la que están y se desplazan hasta la estación adyacente. Cuando llegan, cada una le manda un mensaje a la otra indicándole la estación a la que ha llegado y espera a la siguiente hora para moverse de nuevo.
• Betty gana si consigue cruzar al extremo opuesto del parque. Ana gana si se encuentra con Betty en uno de los caminos o en una estación antes de que Betty gane.

Resulta que Betty conoce a Ana muy bien y puede siempre predecir de forma exacta qué camino va a tomar. Para cada valor de $N$, determinar cuál de las dos amigas tiene una estrategia ganadora y describirla.

Determinar todos los enteros positivos $n$ que verifican las siguientes dos condiciones simultáneamente:

• $n^2$ tiene al menos cuatro divisores positivos.
• Si $1=d_1\lt d_2\lt d_3\lt d^4$ son los primeros cuatro divisores positivos de $n^2$, entonces \[\frac{1}{d_2}=\frac{1}{d_3}+\frac{1}{d_4}+\frac{1}{n}.\]

Sea $ABC$ un triángulo con $BC$ el lado mayor y sea $D$ un punto sobre el segmento $BC$. Sean $J$ y $K$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente. Sea $X$ el punto simétrico de $A$ respecto de la recta $JK$. Sean $Y$ y $Z$ los puntos del segmento $BC$ tales que $BY=AB$ y $CZ=AC$. Demostrar que la medida del ángulo $\angle YXZ$ es constante, independientemente de la elección de $D$.