Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Alba escribe un entero positivo $a$. A continuación, Nuria elige un entero positivo $n$. Luego Nuria calcula la suma $S$ de todos los números comprendidos entre $n$ y $n+a-1$, ambos incluidos. Si $S$ es par, Nuria gana. ¿Para qué valores de $a$ puede Nuria elegir algún número que le asegure ganar?

Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Consideremos la sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots, a_{2025}$, con $a_1=a$, $a_2=b$ y, para $n\geq 1$, \[a_{2n+1} = a_{2n}a_{2n-1},\qquad a_{2n+2} = a_{2n+1} + 4.\] ¿Cuál es la mayor cantidad de cuadrados perfectos que puede haber entre estos 2025 números?

El triángulo ABC es acutángulo. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. El punto $X$ en el lado $AB$ es tal que $DX$ es perpendicular a $AB$ y el punto $Y$ en el lado $AC$ es tal que $DY$ es perpendicular a $AC$. La paralela a $XY$ por $F$ corta a la recta $DY$ en $P$. Demostrar que los ángulos $\angle ADX$ y $\angle DEP$ son suplementarios.