Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos que $a_2=1$ y además podemos expresar \[a_1a_2\cdots a_{n+1}=a_1+a_2+\ldots +a_n=a_1a_2\cdots a_n+a_n,\] de donde obtenemos que \[a_{n+1}=1+\frac{1}{a_1a_2\cdots a_{n-1}}\quad\text{para todo }n\geq 2.\qquad(\star)\] Cómo todos los $a_n$ son positivos, esto nos dice que que $a_n\gt 1$ para todo $n\geq 3$. Además, tenemos que $a_1a_2a_3=a_1+1\gt 1$, luego deducimos que $a_1a_2\cdots a_{n-1}\gt 1$ para todo $n\geq 4$. Por lo tanto, $(\star)$ nos asegura que $1\lt a_n\lt 2$ para todo $n\geq 5$. Así, a lo sumo hay cuatro términos que son enteros en toda sucesión mapuche.

Para resolver así el problema, será suficiente encontrar una sucesión mapuche con cuatro términos enteros, para lo que tomamos $a_1=1, condición inicial que nos lleva a que $a_2=1$, $a_3=2$ y $a_4=2$.

Solución. Pongamos coordenadas $(x_i,y_i)$ a cada moneda para $1\leq i\leq n^2$, siendo $(0,0)$ la casilla inferior izquierda y $(n^2,n^2)$ la de la casilla superior derecha. Tenemos entonces que las sumas \[S_x=\sum_{i=1}^{n^2}x_i,\qquad S_y=\sum_{i=1}^{n^2}y_i\] no cambian al hacer movimientos de cualquiera de los cuatro tipos. Si inicialmente las $n^2$ monedas se encuentran (todas ellas) en la casilla $(a,b)$, entonces comparando los valores de $S_x$ y $S_y$ con el momento en que todas las casillas tienen una moneda, obtenemos las igualdades \[an^2=bn^2=n(1+2+\ldots+n)=\tfrac{1}{2}n^2(n+1),\] de donde $a=b=\frac{n+1}{2}$. Esto nos dice que $n$ es impar y que la única posible posición inicial es la casilla central. Por lo tanto, supondremos que $n=2m+1$ para cierto entero positivo $m$ y cambiamos las coordenadas para que $(0,0)$ sea la casilla central, de forma que las casillas del tablero tienen coordenadas enteras $(x,y)$ con $-m\leq x,y\leq m$.

Consideramos ahora las siguientes sumas \[A=\sum_{i=1}^{n^2}x_i^2,\quad B=\sum_{i=1}^{n^2}y_i^2,\quad C=\sum_{i=1}^{n^2}(x_i+y_i)^2,\quad D=\sum_{i=1}^{n^2}(x_i-y_i)^2.\] Los movimientos de tipo II, III y IV incrementan $A$ en una unidad (puesto que $(x-1)^2+(x+1)^2=x^2+x^2+2$) mientras que los de tipo I lo dejan invariante. Análogamente, los movimientos de tipo I, III y IV incrementan $B$ en una unidad mientras que los de tipo II lo dejan invariante. La situación inicial es $A=B=0$ y la final también cumple $A=B$, luego tenemos que haber hecho tantos movimientos de tipos II-III-IV como movimientos de tipos I-III-IV. De aquí deducimos que se han hecho tantos movimientos de tipo I como de tipo II en el proceso (no nos piden esto pero será útil).

Los movimientos de tipo I y II incrementan $C$ y $D$ en $2$ unidades; los de tipo III incrementan $C$ en $4$ unidades y dejan $D$ invariante, y finalmente los de tipo IV dejan $C$ invariante e incrementan $D$ en $4$ unidades. Inicialmente tenemos $C=D=0$ y en el estado final tenemos también $C=D$ por simetría. Como se ha realizado el mismo número de movimientos de tipo I que de tipo II, también tendrá que haberse realizado el mismo número de movimientos de tipo III que de tipo IV.

Nota. El hecho de considerar las sumas y las sumas de los cuadrados está inspirado por la media y la varianza de los datos. Observemos que los cuatro tipos de movimientos dejan invariante las medias de las coordenadas (es decir, no cambian el centro de masa de las monedas), pero las van dispersando aumentando siempre la desviación. En la solución, hemos ido midiendo las varianzas de las desviaciones en las direcciones de los ejes y en las direcciones de las bisectrices de los cuadrantes.

Solución. Utilizaremos la fórmula conocida para la suma de los primeros $n$ cubos \[1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.\] La suma de la izquierda del enunciado se puede expresar como la anterior suma para $n=p+q+1$ menos esa suma para $n=p-q-2$. Por tanto, podemos expresar la ecuación del enunciado como \[\frac{(p+q+1)^2(p+q+2)^2}{4}-\frac{(p-q-2)^2(p-q-1)^2}{4}=9p^2q^2.\] Podemos factorizar el miembro de la derecha fácilmente al tratarse de una diferencia de cuadrados y, tras simplificar, llegamos a la ecuación equivalente \[(2q+3)(p^2+3q+q^2+2)=9pq^2.\qquad(\star)\] Si ninguno de los primos es $3$, entonces $p^2\equiv 1\pmod 3$ y $q^2\equiv 1\pmod 3$, luego $p^2+3q+q^2+2\equiv 1\pmod 3$ y $2q+3\not\equiv 0\pmod 3$, luego la ecuación $(\star)$ no tiene soluciones. Tenemos entonces dos casos posibles:

• Si $q=3$, la ecuación $(\star)$ queda $p^2-9p+20=0$ tras simplificar, que tiene por soluciones $p=4$ y $p=5$. Nos quedamos únicamente con $p=5$ ya que debe tratarse de un número primo.
• Si $p=3$, entonces $(\star)$ queda $2q^3-18q^2+31q+33=0$. Las únicas posibles soluciones que son números primos son $q=3$ y $q=33$ (divisores primos del término independiente), pero ninguna de ellas cumple la ecuación.

Deducimos que la única solución es $(p,q)=(5,3)$.

Solución. La respuesta es afirmativa y para demostrarlo describiremos la estrategia que pueden seguir los magos. La idea principal es codificar cada uno de los 2025 colores del mago de la torre con un número del $0$ al $2024$ en base $2$, lo que supone $11$ dígitos $0$ o $1$ ya que $2^{11}=2048\gt 2025$. Por otro lado, a cada uno de los cuatro colores de los magos de los pozos le asignamos un número del $0$ al $3$ módulo $4$. Con esto en mente, cada mago responde lo siguiente.

• El mago de la torre forma un número binario de $11$ dígitos, siendo el $i$-ésimo dígito igual a $0$ si los colores de los dos magos del pozo $i$ tienen la misma paridad y $1$ si estos tienen distinta paridad. Identifica este número con uno de los $2025$ colores y responde ese color. Si el número formado no se corresponde con ningún color (está entre $2025$ y $2047$), entonces responde un color aleatorio.
• En el pozo $i$, cada mago mira el dígito $i$-ésimo del número binario asignado al color del mago de la torre. Si el dígito es $0$, entonces el primer mago responde el color del segundo mago más $1$ y el segundo mago el color del primer mago más $1$ (módulo $4$); si, por el contrario, el dígito del mago de la torre es $1$, entonces el primer mago responde el mismo color del segundo mago y el segundo mago el color del primer mago más $2$ (módulo $4$). Esta estrategia presupone que los magos del pozo han elegido un orden entre ellos previamente.

De esta forma, si el mago de la torre no acierta, es porque necesariamente hay un pozo en el que la paridad de los colores de sus dos magos no coincide con la indicada por el correspondiente dígito del mago de la torre. La estrategia de los magos de dicho pozo barre todos los casos posibles en que esto ocurre, luego alguno de los dos debe acertar su color. Observemos que hay ocho posibles combinaciones de colores con igual/distinta paridad en el pozo, pero cada mago del pozo ve el color del otro mago, lo que realmente reduce las combinaciones a dos y cada mago explora una de ellas.