Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para un entero positivo $N$, sean $c_1\lt c_2\lt\ldots\lt c_m$ todos los enteros positivos menores que $N$ que son primos relativos con $N$. Encontrar todos los enteros $N\geq 3$ tales que \[\mathrm{mcd}(N,c_i+c_{i+1})\neq 1\] para todo $i$, donde $1\leq i\leq m-1$.

Diremos que una sucesión infinita y creciente $a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots$ de enteros positivos es central si, para todo entero positivo $n$, la media aritmética de los primeros $a_n$ términos de la sucesión es igual a $a_n$. Demostrar que existe una sucesión infinita $\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}$ de enteros positivos tal que, para toda sucesión central $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$, hay infinitos enteros positivos $n$ con $a_n=b_n$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Tomamos puntos $D$ y $E$ de manera que $B$, $D$, $E$ y $C$ están sobre una recta (en ese orden) y tales que $BD=DE=EC$. Supongamos que el triángulo $ADE$ es acutángulo y sea $H$ su ortocentro. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $AD$ y $AE$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos en las rectas $BM$ y $CN$, respectivamente, tales que $D$, $H$, $M$ y $P$ son todos distintos entre sí y concíclicos y $E$, $H$, $N$ y $Q$ son todos distintos entre sí y concíclicos. Demostrar que $P$, $Q$, $N$ y $M$ también son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. Sea $I$ su incentro. Las rectas $BI$ y $CI$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P\neq B$ y en $Q\neq C$, respectivamente. Se toman puntos $R$ y $S$ tales que $AQRB$ y $ACSP$ son paralelogramos (con $AQ$ paralela a $RB$, $AB$ paralela a $QR$, $AC$ paralela a $SP$ y $AP$ paralela a $CS$). Sea $T$ el punto de intersección de las rectas $RB$ y $SC$. Demostrar que los puntos $R$, $S$, $T$ e $I$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $n\gt 1$ un entero. Una configuración de un tablero de tamaño $n\times n$ consiste en colocar, en cada una de las $n^2$ casillas del tablero, una flecha que puede apuntar hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. Dada una configuración inicial, el caracol Turbo empieza en una de las casillas del tablero y se mueve de casilla en casilla. En cada movimiento, Turbo se mueve una casilla (posiblemente saliéndose del tablero) en la dirección indicada por la flecha de la casilla donde está. Después de cada movimiento, las flechas de todas las casillas giran $90^\circ$ en sentido antihorario. Decimos que una casilla es buena si, al empezar en dicha casilla, Turbo visita exactamente una vez cada casilla del tablero (sin salir de él), terminando en la casilla donde empezó. Determine, en términos de $n$, el mayor valor posible del número de casillas buenas de entre todas las configuraciones iniciales del tablero.

En cada casilla de un tablero de tamaño $2025\times 2025$, se escribe un número real no negativo de manera que la suma de los números en cada una de sus filas es $1$ y la suma de los números en cada una de sus columnas es $1$. Para cada $i$, denotamos por $r_i$ al mayor de los números de las casillas de la fila $i$ y por $c_i$ al mayor de los números de las casillas de la columna $i$. Sean \[R = r_1 + r_2 +\ldots+ r_{2025},\qquad C = c_1 + c_2 +\ldots + c_{2025}.\] ¿Cuál es el mayor valor posible de $\frac{R}{C}$?