Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un número entero $N$ se denomina ofémico si puede escribirse como $N=2(m^2+n^2)$ y también como $N=(m+n)^2+1$ para los mismos enteros $m$ y $n$. ¿Cuáles son los dos enteros ofémicos más cercanos a $2026$?

Determina todos los enteros $d\geq 1$ con la siguiente propiedad: existen enteros positivos $a\neq b$ tales que $\operatorname{mcd}(a,b)=d$ y \[\frac{a^2+b^2}{a+b}\] es entero.

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las dos circunferencias que pasan por $A$ y son tangentes tanto a la recta $BC$ como a $\Gamma$. La recta $BC$ es tangente a $\omega_1$ en $D_1$ y a $\omega_2$ en $D_2$. Las rectas $AD_1$ y $AD_2$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en $P_1$ y $P_2$, respectivamente. Probar que $P_1P_2$ es perpendicular a $BC$.

Sea $n\geq 3$ un entero. Ana juega moviendo $n$ piedras entre los vértices de un $n$-ágono regular. Partiendo de cierta distribución inicial de las $n$ piedras en los $n$ vértices, Ana realiza una secuencia de jugadas del siguiente tipo: elegir un vértice con dos o más piedras y dispararlo, es decir, mover una piedra a cada uno de sus dos vértices contiguos. El juego termina si Ana consigue que cada vértice del polígono acabe con una piedra, en cuyo caso diremos que Ana ha ganado.

1. Demostrar que para todo $n\geq 3$ existe una distribución inicial de las $n$ piedras en los $n$ vértices desde la cual Ana no puede ganar.
2. Demostrar que, si Ana puede ganar desde la distribución inicial, entonces para toda secuencia ganadora existe algún vértice que nunca se ha disparado en dicha secuencia.