Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un tablero de $2026\times 2026$ celdas se dice francés si al menos una de sus $2026^2$ celdas unitarias es roja. Una región rectangular formada por celdas del tablero se dice dispar si contiene un número impar de celdas rojas. Encuentra el mayor entero positivo $M$ tal que, en cualquier tablero francés de $2026\times 2026$ celdas, existe alguna región rectangular dispar de al menos $M$ celdas.

Nota: Una región rectangular contiene todo su interior y sus lados son paralelos a los lados del tablero.

Dado un entero positivo $n$, María comienza un juego con el número $1$ escrito en una pizarra. Tantas veces como quiera, María puede hacer lo siguiente: elegir un entero $j$ tal que $1\leq j\leq n$ y reemplazar un número $V$ que esté en la pizarra por el número $j\cdot R(\frac{V}{j})$.

En este contexto, $R(x)$ denota el entero más cercano a $x$; si $x$ está a la misma distancia de dos enteros consecutivos, $R(x)$ redondea hacia arriba. Por ejemplo, $R(1.3)=1$ y $R(1.5)=R(1.8)=2$.

1. Probar que, dado $n$ fijo, existe un entero positivo $B$ tal que María nunca puede escribir un número mayor que $B$ en la pizarra.
2. Para cualquier $n$, sea $f(n)$ el máximo número que puede escribir en la pizarra después de una cantidad finita de reemplazos. Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que para todo $n\geq N$, se tiene que $2026$ divide a $f(n)$.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$, se cumple que \[f((f(x) + f(y))^2)=(x+y)f(x+y).\]

Sea $1 = a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \cdots$ una sucesión infinita de números reales tales que \[ a_n = a_{2n} + a_{2n+1} \] para cualquier entero positivo $n$. Sea $r = 2026^{2026}$. Demostrar que \[ \frac{1}{r} \le a_r \le \frac{2}{r+1}.\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB$. Sea $\omega$ su circunferencia circunscrita y sea $O$ su circuncentro. Sea $K$ la intersección de las tangentes a $\omega$ en $B$ y $C$. La circunferencia circunscrita de $ABK$ corta a la recta $BC$ nuevamente en $Z \neq B$. Sea $L$ el punto medio de $KZ$. Sea $X$ la intersección de las rectas $KZ$ y $AB$. Sea $V$ el punto en la circunferencia circunscrita de $ABL$ que está en el mismo lado que $A$, respecto de $BC$, tal que $OV$ es perpendicular a $KZ$.

Probar que $LV$ es perpendicular a $CX$.

Sean $p$ un número primo y $n$ un entero positivo tales que $p$ no divide a $n$. Denotamos por $k$ al número de divisores positivos de $n$, y por $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$ los divisores positivos de $n$. Para cada $i = 1, 2, \dots, k$, sea $c_i$ el número de divisores positivos $\ell$ de $d_i^2$ que cumplen que $d_i - \ell$ es divisible por $p$. Demostrar que \[ (p - 1)(c_1 + c_2 + \cdots + c_k) \ge k^2. \]