Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que $a(n)=k^3$ para cierto entero positivo $k$, luego todos los números $1,2,\ldots,k^3$ dividen a $n$ pero no lo hace $k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$. Distinguimos tres casos:

• Si $k=1$, entonces $2$ no divide a $n$, luego $n$ es impar. Entonces $n+2520$ también es impar, luego $a(n+2520)=1$ también es un cubo perfecto.
• Si $k=2$, entonces $k^3+1=9$ no divide a $n$, luego tampoco divide a $n+2520$ ($2520$ es múltiplo de $9$). Como todos los números del $1$ al $8$ dividen tanto a $n$ como a $n+2520$, tenemos entonces que $a(n+2520)=a(n)=8$.
• Si $k\geq 3$, llegaremos a una contradicción y habremos terminado. Podemos expresar $k^2-k+1=(k-2)(k+1)+3$, luego $d=\operatorname{mcd}(k+1,k^2-k+1)$ es igual a $1$ o a $3$. Si fuera $d=1$, entonces $k+1$ y $k^2-k+1$ serían números entre $1$ y $k^3$ y primos relativos. Como $n$ es múltiplo de todos los números entre $1$ y $k^3$, también es múltiplo de $k^3+1$, contradiciendo la definición de $a(n)$. Si $d=3$, entonces $k^3+1$ solo tiene un tres más en su factorización que $k+1$ o $k^2-k+1$. Como $n$ es múltiplo de $3(k+1)\leq k^3$ y de $3(k^2-k+1)\lt (k+1)(k^2-k+1)$ (aquí se usa que $k\geq 3$), se deduce también en este caso que $k^3+1$ debe dividir a $n$, en contradicción de nuevo con la definición de $a(n)$.

Solución. Observamos en primer lugar que no pueden ser uno de los números par y otro impar ya que entonces uno de los dos factores sería un impar mayor que $1$. Además, si $a$ y $b$ fueran pares, entonces dividiendo ambos entre $2$, tendríamos otra solución. Todo esto nos dice que podemos suponer que $a$ y $b$ son impares, aunque luego tendremos que multiplicar las soluciones obtenidas por una potencia de $2$ arbitraria.

Ahora bien, $a+3b$ y $b+3a$ deben ser potencias de $2$, luego el problema se reduce al sistema lineal \[\left\{\begin{array}{l}a+3b=2^n,\\b+3a=2^m.\end{array}\right.\] El sistema es compatible determinado y podemos despejar fácilmente \[a=3\cdot 2^{m-3}-2^{n-3},\qquad b=3\cdot 2^{n-3}-2^{m-3}.\] Por un lado, si $m=n=2$, obtenemos la solución $a=b=1$. En otro caso, podemos suponer que $m\geq n\geq 3$. Para que $a$ y $b$ sean impares, tiene que ser $n=3$ y $m\geq 4$, lo que nos da $b=3-2^{m-3}$ y esto lleva necesariamente a que $m=4$ ya que $b$ es positivo, de donde se deduce la solución $(a,b)=(5,1)$. También tendríamos $(a,b)=(1,5)$ por simetría.

Juntando todo lo anterior, llegamos a que \[(a,b)=(2^k,2^k),\qquad (a,b)=(2^k,5\cdot 2^k)\quad\text{o bien}\quad (a,b)=(5\cdot 2^k,2^k)\] para algún entero no negativo $k$.