Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $n$ y $m$ enteros mayores que $1$ y sean $a_1,a_2,\ldots,a_m$ enteros positivos menores o iguales que $n^m$. Demostrar que existen enteros positivos $b_1, b_2,\ldots, b_m$ menores o iguales que $n$, tales que \[\mathrm{mcd}(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_m+b_m)\lt n,\] donde $\mathrm{mcd}(x_1, x_2,\ldots, x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1, x_2,\ldots, x_m$.

Denotamos por $d(m)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $m$, y por $\omega(m)$ el número de primos distintos que dividen a $m$. Sea $k$ un entero positivo. Demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $\omega(n)=k$ y $d(n)$ no divide a $d(a^2+b^2)$ para todos $a$ y $b$ enteros positivos tales que $a+b=n$.

Encontrar todos los enteros positivos $a$ y $b$ para los que hay tres enters consecutivos en los que el polinomio \[P(n)=\frac{n^5+a}{b}\] toma valores enteros.

Sea $n$ un entero positivo.

1. Demostrar que existe un conjunto $S$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tal que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos elementos de $S$ no es mayor que $32n^2$.
2. Demostrar que cualquier conjunto $T$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tiene dos elementos distintos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.

Encontrar todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[k!=(2n-1)(2n-2)(2n-4)\cdots (2n-2^{n-1}).\]