Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Descomponiendo en factores $2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67$, llegamos fácilmente a que $2010$ tiene dieciséis divisores. Pueden probarse todos ellos uno a uno, pero podemos ahorrar algunos casos si nos damos cuenta de que $S(n)\equiv n\ (\text{mod }3)$, luego $n$ o $n-1$ tienen que ser múltiplos de $3$. Probamos primero los casos en que $n$ es múltiplo de $3$ y vemos que solo en uno se cumple la ecuación:

• Si $n=3$, entonces $S(n)-1=2$.
• Si $n=3\cdot 2=6$, entonces $S(n)-1=5$.
• Si $n=3\cdot 5=15$, entonces $S(n)-1=5$.
• Si $n=3\cdot 67=201$, entonces $S(n)-1=2$.
• Si $n=3\cdot 2\cdot 5=30$, entonces $S(n)-1=2$.
• Si $n=3\cdot 2\cdot 67=402$, entonces $S(n)-1=5$ (este sí es solución).
• Si $n=3\cdot 5\cdot 67=1005$, entonces $S(n)-1=5$.
• Si $n=3\cdot 2\cdot 5\cdot 67=2010$, entonces $S(n)-1=2$.

Consideremos ahora los casos en que $n-1$ es múltiplo de $3$, en los que podemos ver que no hay soluciones:

• Si $n=1$, entonces $S(n)-1=0$.
• Si $n=67$, entonces $S(n)-1=12$.
• Si $n=2\cdot 5=10$, entonces $S(n)-1=0$.
• Si $n=2\cdot 5\cdot 67=670$, entonces $S(n)-1=12$.

Deducimos así que $n=402$ es la única solución al problema.

Solución. En la siguiente tabla, reflejamos cada dígito posible de $N$ y el efecto que tiene en la suma de los dígitos de $2N$ respecto de la suma de los dígitos de $N$: \[\begin{bmatrix}0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\0&+1&+2&+3&+4&-4&-3&-2&-1&0\end{bmatrix}\] Por ejemplo, si $N$ tiene un dígito $4$, entonces se convierte en $8$ en $2N$ y añade $+4$ a la suma de los dígitos; por el contrario, si $N$ tiene un dígito $8$, entonces se convierte en $6$ y nos llevamos $1$, luego resta $1$ a la suma de los dígitos de $2N$ respecto de la de $N$.

Ahora bien, el número $N$ que buscamos tiene al menos $12$ dígitos ya que $11\cdot 9=99\lt 100$. Tiene además tres de ellos entre $1$ y $4$ para conseguir añadir $+10$ a la suma de los dígitos tras duplicar el número. Si $N$ tuviera $12$ dígitos, entonces sumarían un máximo de $3\cdot 4+9\cdot 9=93\lt 100$, luego no hay soluciones de $12$ dígitos. Supongamos entonces que $N$ tiene $13$ dígitos, en cuyo caso sí que se puede encontrar que la suma sea $100$. Para que $N$ sea lo menor posible, debemos elegir uno de esos dígitos lo menor posible (hará el papel de cifra más significativa) y esto se consigue eligiendo los números que aportan en $+10$ como $2,4,4$, en cuyo caso la única forma de rellenar las otras nueve cifras y que sumen $100$ es todo nueves. Hemos probado así que el menor número $N$ que cumple las condiciones del enunciado es \[N=2449999999999.\]

Nota. Una fórmula conocida que equivale al razonamiento inicial dado en la solución es $S(2N)=2S(N)-9a$, siendo $a$ el número de acarreos en la suma $N+N$, es decir, $a$ es la cantidad de dígitos entre $5$ y $9$ que tiene $N$.