Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1,\ldots, a_n$ tales que, para cada $(x,y)$ de $S$, se cumple que \[a_0x_n + a_1x^{n−1}y + a_2x^{n−2}y^2 +\ldots+ a_{n−1}xy^{n−1} + a_ny^n = 1.\]

Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de los elementos restantes. Sea $P(n) =n^2+n+1$. Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto \[\{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)\}\] es fragante.

Sea $P = A_1A_2\ldots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2,\ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea $S$ el área de $P$. Sea $n$ un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son todos números enteros divisibles por $n$. Demostrar que $2S$ es un entero divisible por $n$.

Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que cada uno de los números $ab-c,bc-a,ca-b$ es una potencia de $2$.

Demostrar que, para cualquier par de enteros positivos $k$ y $n$, existen $k$ enteros positivos $m_1, m_2,\ldots, m_k$ (no necesariamente distintos) tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{m_k}\right).\]