Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor=n^2+a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m,n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.

Nota. La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera del número real $x$.

El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos del conjunto ${m,2m+1,3m}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto implica que el número $2021^2021$ es fantabuloso?

Sea $m\gt 1$ un entero. Se define una sucesión $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ como $a_1=a_2=1$, $a_3=4$ y, para todo $n\geq 4$, \[a_n = m(a_{n−1} + a_{n−2}) − a_{n−3}.\] Determinar todos los enteros $m$ para los que todos los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.

Sean $a_0, a_1, a_2,\ldots, a_{3030}$ enteros positivos tales que \[2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_n,\qquad\text{para todo }n=0,1,2,\ldots,3028.\] Demostrar que al menos uno de los enteros $a_0, a_1, a_2, . . . , a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

Sea $n\geq 2$ un número entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ enteros positivos. Demostrar que existen enteros positivos $b_1, b_2,\ldots,b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones:

• $a_i\leq b_i$ para todo $1\leq i\leq n$,
• los restos de $b_1, b_2,\ldots, b_n$ al dividirlos por $n$ son todos diferentes y
• $\displaystyle b_1+b_2+\ldots+b_n\leq \left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right\rfloor\right)$.


Nota. Denotamos por $\lfloor x\rfloor$ a la parte entera del número real $x$, es decir, al mayor entero que es menor o igual que $x$.