Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que, para cualquier par de enteros positivos $k$ y $n$, existen $k$ enteros positivos $m_1, m_2,\ldots, m_k$ (no necesariamente distintos) tales que \[1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{m_k}\right).\]

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1,\ldots,a_k$ ($k\geq 2$) enteros distintos del conjunto $\{1,\ldots,n\}$, tales que $n$ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,\ldots,k-1$. Demostrar que $n$ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Demostrar que existen infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $4ab-1$ divide a $(4a^2-1)^2$. Demostrar que $a=b$.

Hallar todas las parejas de enteros $(x,y)$ tales que \[1+2^x+2^{2x+1}=y^2.\]