Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una cierta caja rectangular puede rellenarse completamente con cubos de lado $1$, pero si la intentamos rellenar con cubos de volumen $2$ con aristas paralelas a las aristas de la caja, podemos llenar un máximo del $40\%$ del volumen total de la caja. Determinar las posibles dimensiones de la caja.

Determinar justificadamente si existen $1975$ puntos en una circunferencia de radio $1$ tales que la distancia entre cada dos de ellos es un número racional.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión creciente e infinita de números enteros positivos. Demostrar que para todo $p\geq 1$ hay infinitos términos $a_m$ que se pueden escribir de la forma $a_m=xa_p+ya_q$ para ciertos enteros positivos $x$, $y$ y $q\gt p$.

Sea $P$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Definimos $n(P)$ como el número de enteros distintos $k$ tales que $P(k)^2=1$ y $\mathrm{gr}(P)$ como el grado de $P$. Demostrar que \[n(P)-\mathrm{gr}(P)\leq 2.\]

Demostrar que el número \[\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\] no es divisible por $5$ para ningún entero $n\geq 0$.