Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Denotamos por $d(m)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $m$, y por $\omega(m)$ el número de primos distintos que dividen a $m$. Sea $k$ un entero positivo. Demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $\omega(n)=k$ y $d(n)$ no divide a $d(a^2+b^2)$ para todos $a$ y $b$ enteros positivos tales que $a+b=n$.

Encontrar todos los enteros positivos $a$ y $b$ para los que hay tres enters consecutivos en los que el polinomio \[P(n)=\frac{n^5+a}{b}\] toma valores enteros.

Sea $n$ un entero positivo.

1. Demostrar que existe un conjunto $S$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tal que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos elementos de $S$ no es mayor que $32n^2$.
2. Demostrar que cualquier conjunto $T$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tiene dos elementos distintos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.

Encontrar todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[k!=(2n-1)(2n-2)(2n-4)\cdots (2n-2^{n-1}).\]

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1,\ldots, a_n$ tales que, para cada $(x,y)$ de $S$, se cumple que \[a_0x_n + a_1x^{n−1}y + a_2x^{n−2}y^2 +\ldots+ a_{n−1}xy^{n−1} + a_ny^n = 1.\]