Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un entero positivo.

1. Demostrar que existe un conjunto $S$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tal que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos elementos de $S$ no es mayor que $32n^2$.
2. Demostrar que cualquier conjunto $T$ formado por $6n$ enteros positivos distintos tiene dos elementos distintos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.

Encontrar todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).\]

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1,\ldots, a_n$ tales que, para cada $(x,y)$ de $S$, se cumple que \[a_0x_n + a_1x^{n−1}y + a_2x^{n−2}y^2 +\ldots+ a_{n−1}xy^{n−1} + a_ny^n = 1.\]

Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de los elementos restantes. Sea $P(n) =n^2+n+1$. Determinar el menor número entero positivo $b$ para el cual existe algún número entero no negativo $a$ tal que el conjunto \[\{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)\}\] es fragante.

Sea $P = A_1A_2\ldots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2,\ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea $S$ el área de $P$. Sea $n$ un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son todos números enteros divisibles por $n$. Demostrar que $2S$ es un entero divisible por $n$.