Olimpiadas de Matemáticas
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¿Existe algún número natural $N$ divisible por exactamente $2000$ primos distintos de forma que $N$ divide a $2^N+1$?

Nota. $N$ podría ser divisible por una potencia de dichos primos.

Hallar todos los pares de enteros positivos $(n,p)$, siendo $p$ primo y $n\leq 2p$, tales que $(p-1)^n+1$ es divisible por $n^{p-1}$.

Para cada entero positivo $n$, definimos $f(n)$ como el número de divisores positivos de $n$, incluyendo $1$ y $n$. Hallar los enteros positivos $k$ tales que $d(n^2)/d(n)=k$ para algún $n$.

Hallar todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$.

Encontrar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos que cumplen la ecuación \[a^{b^2}=b^a.\]