Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $p,q,n$ tres enteros positivos con $p+q\lt n$. Sea $(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ una $(n+1)$-upla de enteros que verifican las siguientes dos condiciones:

• $x_0=x_n=0$,
• $x_i-x_{i+1}=p$ o bien $x_i-x_{i+1}=q$ para todo $1\leq i\leq n$.

Probar que hay índices $i\lt j$ con $(i,j)\neq(0,n)$ tales que $x_i=x_j$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $15a+16b$ y $16a-15b$ sean ambos cuadrados perfectos de enteros positivos. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

Probar que existe un conjunto $A$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier conjunto infinito de primos $S$ hay dos enteros positivos, $m\in A$ y $n\not\in A$, cada uno de los cuales es el producto de $k$ elementos distintos de $S$ para algún $k\geq 2$.

Hallar todos los pares ordenados $(m,n)$ de enteros positivos tales que \[\frac{n^3+1}{mn-1}\] es un número entero.

Para cada entero positivo $n$, definimos $S(n)$ como el mayor entero tal que $n^2$ se puede escribir como la suma de $k$ cuadrados perfectos no nulos para todo entero $1\leq k\leq S(n)$.

1. Demostrar que $S(n)\leq n^2-14$.
2. Encontrar un entero $n$ tal que $S(n)=n^2-14$.
3. Demostrar que hay infinitos enteros $n$ tales que $S(n)=n^2-14$.