Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encuentra todos los enteros $n$ tales que \[ \left\lfloor \frac{n}{1!} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{2!} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor \frac{n}{10!} \right\rfloor = 1001. \]

Un número entero positivo $n$ tiene exactamente $12$ divisores positivos \[1 = d_1 < d_2 < d_3 < \dots < d_{12} = n.\] Encontrar el valor de $n$ si para $m = d_4 - 1$ se cumple que $d_m =\frac{1}{8}(d_1 + d_2 + d_4)$.

Se define la sucesión de enteros $\{a_n\}$ mediante $a_0 = 0$ y $a_n = p(a_{n-1})$, siendo $p(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros positivos. Demostrar que, para cualesquiera dos enteros positivos $m, k$ con máximo común divisor $d$, se cumple que $\mathrm{gcd}(a_m, a_k) = a_d$.

Demostrar que la sucesión \[a_n=1^1+2^2+3^3+\ldots+n^n\] contiene infinitos números compuestos impares.

Si los números racionales $x$ e $y$ verifican \[x^5+y^5=2x^2y^2,\] demostrar que $1-xy$ es el cuadrado de un número racional.