Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
Problema 1815
IMO, 1987-P6
Sea $n\geq 2$ un entero. Demostrar que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq \sqrt{n/3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq n-2$.
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Problema 1805
IMO, 1986-P1
Sea $d$ cualquier entero positivo distinto de $2$, $5$ o $13$. Demostrar que podemos encontrar dos elementos distintos $a$ y $b$ en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tales que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.
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Problema 1799
IMO, 1984-P6
Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0\lt a\lt b\lt c\lt d$ y $ad=bc$. Demostrar que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para ciertos enteros $k$ y $m$, entonces necesariamente $a=1$.
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Problema 1795
IMO, 1984-P2
Hallar razonadamente un ejemplo de enteros positivos $a$ y $b$ que verifiquen las siguientes dos condiciones:
- $ab(a+b)$ no es divisible por $7$,
- $(a+b)^7-a^7-b^7$ es divisible por $7^7$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que $(a+b)^7-a^7-b^7=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2$.
Solución. El binomio de Newton nos asegura que
\begin{align*}
(a+b)^7-a^7-b^7&=7(a^6b+3a^5b^2+5a^4b^3+5a^3b^4+3a^2b^5+ab^6)\\
&=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2.
\end{align*}
Por lo tanto, si $ab(a+b)$ no es divisible por $7$, necesariamente tendremos que encontrar $a$ y $b$ tales que $a^2+ab+b^2$ sea divisible por $7^3=343$. Curiosamente, si tomamos $b=1$, la ecuación $a=2+a+1=343$ tiene por solución entera positiva $a=18$. Como ni $1$ ni $18$ son múltiplos de $7$, obtenemos que $(a,b)=(18,1)$ es una posible respuesta al problema.
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Problema 1793
IMO, 1983-P6
¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos ellos menores o iguales que $10^5$ de forma que no haya tres de ellos en progresión aritmética?
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