Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todos los pares de enteros positivos $(n,p)$, siendo $p$ primo y $n\leq 2p$, tales que $(p-1)^n+1$ es divisible por $n^{p-1}$.

Para cada entero positivo $n$, definimos $f(n)$ como el número de divisores positivos de $n$, incluyendo $1$ y $n$. Hallar los enteros positivos $k$ tales que $d(n^2)/d(n)=k$ para algún $n$.

Hallar todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$.

Encontrar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos que cumplen la ecuación \[a^{b^2}=b^a.\]

Sean $p,q,n$ tres enteros positivos con $p+q\lt n$. Sea $(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ una $(n+1)$-upla de enteros que verifican las siguientes dos condiciones:

• $x_0=x_n=0$,
• $x_i-x_{i+1}=p$ o bien $x_i-x_{i+1}=q$ para todo $1\leq i\leq n$.

Probar que hay índices $i\lt j$ con $(i,j)\neq(0,n)$ tales que $x_i=x_j$.