Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un entero positivo es alternante si en su representación decimal cada par de dígitos consecutivos tienen distinta paridad. Encontrar todos los enteros positivos que tienen un múltiplo que es alternante.

Sea $p$ un número primo. Demostrar que existe un número primo $q$ tal que, para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es divisible por $q$.

Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}\] es un entero positivo.

Encontrar todos los pares de enteros $(m,n)$, ambos mayores que $2$, tales que hay infinitos enteros $k$ para los que $k^n+k^2-1$ divide a $k^m+k-1$.

Sean $a,b,c,d$ enteros tales que $a\gt b\gt c\gt d\gt 0$. Supongamos que \[ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).\] Demostrar que $ab+cd$ no es primo.