Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cada número natural $n$, demostrar que hay un enteros divisible por $2^n$ que solo se escribe con dígitos $1$ y $2$ en el sistema decimal.

En el conjunto de los enteros positivos cuya representación en el sistema decimal tiene $n$ dígitos o menos, definimos $S$ y $T$ como los subconjuntos formados por aquellos en que la suma de los dígitos es par e impar, respectivamente. Demostrar que la suma de las potencias $k$-ésimas de los elementos de $S$ es igual a la suma de las potencias $k$-ésimas de los elementos de $T$ para cualquier exponente entero $1\leq k\lt n$.

Dado un entero positivo $n$, probar que se pueden encontrar infinitos enteros $m$ cuya expresión decimal no tiene ceros y cuya suma de dígitos coincide con la suma de los dígitos de $mn$.

Determinar el conjunto de enteros positivos $n$ con la propiedad de que el conjunto $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ puede descomponerse en dos subconjuntos tales que los productos de los elementos de cada subconjunto son iguales.

Sean $a$, $b$ y $n$ enteros mayores que $1$ y supongamos que $a$ y $b$ son las bases de dos sistemas de numeración. Tenemos enteros positivos $A_{n-1}$ y $A_n$ expresados en base $a$ como \[A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0,\qquad A_n=x_nx_{n-1}\ldots x_0,\] y los enteros positivos $B_{n-1}$ y $B_n$ que tienen la misma representación en base $b$: \[B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0,\qquad B_n=x_nx_{n-1}\ldots x_0,\] siendo los dígitos $x_{n-1}$ y $x_n$ no nulos. Demostrar que \[\frac{A_{n-1}}{A_n}\lt\frac{B_{n-1}}{B_n}\ \text{si y solo si} a\gt b.\]