Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos tales que ninguna pareja de ellos tiene un divisor común mayor que $1$. Demostrar que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no se puede expresar como $xbc+yca+zab$ con $x$, $y$ y $z$ enteros no negativos.

Demostrar que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[x^3-3xy^2+y^3=n\] tiene una solución $(x,y)$ en los enteros, entonces tiene al menos tres soluciones. Probar también que la solución no tiene soluciones en los enteros para $n=2891$.

Determinar el mayor valor que puede tomar $m^3+n^3$, siendo $m$ y $n$ enteros entre $1$ y $1981$ tales que $(n^2-mn-m^2)^2=1$.

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ el número de divisores enteros positivos de $n$. Demostrar que, para todos los pares de enteros positivos $(a,b)$, se tiene que \[d(a)+d(b)\leq d(\mathrm{mcd}(a,b))+d(\mathrm{mcm}(a,b))\] y determinar para qué pares $(a,b)$ se tiene la igualdad.