Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Si $q$ y $r$ son el cociente y el resto de la división de $a^2+b^2$ entre $a+b$, determinar todos los pares $(a,b)$ para los que $q^2+r=1977$.

Para cada entero $n\gt 2$, definimos $V_n$ como el conjunto de los enteros de la forma $1+kn$, siendo $k$ un entero positivo. Un elemento de $V_n$ se dice indescomponible si no se puede expresar como producto de dos elementos de $V_n$. Demostrar que existe un elemento $r$ de $V_n$ que se puede expresar como producto de elementos indescomponibles de $V_n$ de más de una forma distinta (se entiende que reordenar los factores produce la misma descomposición).

Una cierta caja rectangular puede rellenarse completamente con cubos de lado $1$, pero si la intentamos rellenar con cubos de volumen $2$ con aristas paralelas a las aristas de la caja, podemos llenar un máximo del $40\%$ del volumen total de la caja. Determinar las posibles dimensiones de la caja.

Determinar justificadamente si existen $1975$ puntos en una circunferencia de radio $1$ tales que la distancia entre cada dos de ellos es un número racional.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión creciente e infinita de números enteros positivos. Demostrar que para todo $p\geq 1$ hay infinitos términos $a_m$ que se pueden escribir de la forma $a_m=xa_p+ya_q$ para ciertos enteros positivos $x$, $y$ y $q\gt p$.