Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n\gt 6$ un entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_k$ todos los números menores que $n$ y primos relativos con $n$. Si se cumple que \[a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_k-a_{k-1}\gt 0,\] demostrar que $n$ es un número primo o bien una potencia de $2$.

Hallar todos los enteros $n\gt 1$ tales que \[\frac{2^n+1}{n^2}\] es entero.

Demostrar que para todo entero positivo $n$ existen $n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia de un número primo.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $ab+1$ divide a $a^2+b^2$. Demostrar que \[\frac{a^2+b^2}{ab+1}\] es un cuadrado perfecto.

Sea $n\geq 2$ un entero. Demostrar que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq \sqrt{n/3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq n-2$.