Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que para todo entero positivo $n$ existen $n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia de un número primo.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $ab+1$ divide a $a^2+b^2$. Demostrar que \[\frac{a^2+b^2}{ab+1}\] es un cuadrado perfecto.

Sea $n\geq 2$ un entero. Demostrar que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq \sqrt{n/3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq n-2$.

Sea $d$ cualquier entero positivo distinto de $2$, $5$ o $13$. Demostrar que podemos encontrar dos elementos distintos $a$ y $b$ en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tales que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0\lt a\lt b\lt c\lt d$ y $ad=bc$. Demostrar que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para ciertos enteros $k$ y $m$, entonces necesariamente $a=1$.