Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1397
OMCC, 2005-P6
Se tienen $n$ cartas numeradas de $1$ a $n$ y $p$ cajas para guardarlas, siendo $p$ un número primo. Determinar los posibles valores de $n$ para los que se pueden guardar todas las cartas de forma que la suma de las cartas en cada caja sea la misma.
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Problema 1393
OMCC, 2005-P2
Demostrar que la ecuación
\[a^2b^2+b^2c^2+3b^2-a^2-c^2=2005\]
no tiene soluciones enteras.
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Problema 1392
OMCC, 2005-P1
Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos que pueden expresarse como suma de $2005$ enteros consecutivos, no necesariamente positivos. ¿Cuál ocupa la posición $2005$?
pistasolución 1info
Pista. Escribe los 2005 números como $n-1002,n-1001,\ldots,n+1002$ para cierto entero $n$, lo que facilita mucho calcular su suma explícitamente.
Solución. Pongamos que los $2005$ enteros consecutivos son
\[n-1002,n-1001,\ldots,n-1,n,n+1,\ldots,n+1002.\]
Al sumarlos todos queda $2005n$ ya que se cancelan sumandos por parejas (el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente) de forma que la suma equivale a sumar $2005$ veces el número central $n$. Vemos así que los números que se expresan de esta forma son los múltiplos de $2005$. El que ocupa la posición $2005$ de entre los positivos es claramente $2005\cdot 2005=2005^2$.
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Problema 1387
OMCC, 2004-P2
Se define una sucesión $a_0, a_1, a_2,\ldots$ de la siguiente manera: $a_0 = a_1 = 1$ y, para todo $k\geq 2$, se cumple que $a_k = a_{k−1} + a_{k−2} + 1$. Determinar cuántos enteros entre $1$ y $2004$ se pueden expresar de la
forma $a_m + a_n$ con $m$ y $n$ enteros positivos y $m\neq n$.
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Problema 1383
OMCC, 2001-P4
Determinar el menor entero positivo $n$ para el cual existan enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ menores o iguales que $15$ (no necesariamente distintos) tales que los cuatro últimos dígitos
de la suma $a_1!+a_2!+\ldots+a_n!$ sean $2001$.
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