Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en los lados $AB,BC,CA$, respectivamente. Tenemos, por lo tanto, que $AX=AZ$, $BY=BX$ y $CZ=CY=2025$, esto último puesto que el cuadrilátero $CYIZ$ es un cuadrado, siendo $I$ el incentro. Si llamamos $x=AX$ e $y=BY$, obtenemos que $AC=AZ+ZC=2025+x$ y $BC=BY+YX=2025+y$, mientras que $AB=AX+XB=x+y$. Para que el triángulo en cuestión sea rectángulo, debe cumplirse que \[(2025+x)^2+(2025+y)^2=(x+y)^2\ \Leftrightarrow\ (x-2025)(y-2025)=2\cdot 2025^2.\] Como tiene que ser $x,y\gt 2025$ y cambiar $x$ por $y$ no cambia el triángulo, esto nos dice que habrá un triángulo por forma de factorizar $2\cdot 2025^2=2^1\cdot 3^8\cdot 5^4$ como producto de dos divisores. Este número tiene $(1+1)(8+1)(4+1)=90$ divisores, lo que nos da un total de $45$ factorizaciones ($2\cdot 2025^2$ no es cuadrado perfecto) y, por tanto, tenemos un total $45$ triángulos no congruentes con radio inscrito $2025$.

Solución. Escribimos la ecuación como \[a(a^2+b^2)+7=3(a^2+b^2)+2b^2\ \Leftrightarrow\ (a-3)(a^2+b^2)=2b^2-7,\] luego $a^2+b^2$ es un divisor de $2b^2-7$. Ahora la escribimos como \[a(a^2+b^2)+7=5(a^2+b^2)-2a^2\ \Leftrightarrow\ (5-a)(a^2+b^2)=2a^2+7,\] luego también es divisor de $2a^2+7$. Como todo divisor positivo de un número es menor o igual que el valor absoluto de dicho número, tenemos que \[\left\{\begin{array}{l}a^2+b^2\leq|2b^2-7|,\\a^2+b^2\leq 2a^2+7.\end{array}\right.\] Distinguimos casos para tratar con el valor absoluto:

• Si $b=0$, entonces la ecuación original queda $a^3-5a^2+7=0$, que no tiene soluciones enteras (probamos $a=\pm 1$ y $a=\pm 7$, los divisores del término independiente).
• Si $b=\pm 1$, entonces la ecuación original queda $a^3-5a^2+a+4=0$, que tampoco tiene soluciones enteras (probamos $a=\pm 1$, $a=\pm 2$ y $a=\pm 4$).
• Si $|b|\geq 2$, entonces $2b^2-7\gt 0$, luego el sistema anterior de desigualdades nos da $a^2\leq b^2-7$ y $b^2\leq a^2+7$, lo que a su vez implica que $b^2-a^2=7$. Es fácil ver que los únicos cuadrados que se diferencian en $7$ unidades son $3^2=9$ y $4^2=16$ (a partir de $16$, cada cuadrado se diferencia del siguiente en al menos $9$ unidades). Por tanto, tenemos los candidatos a solución $a=\pm 3$ y $b=\pm 4$. Sustituyendo en la ecuación original, obtenemos que solamente $(a,b)=(3,4)$ y $(a,b)=(3,-4)$ la verifican.

Hemos probado así que $(a,b)=(3,4)$ y $(a,b)=(3,-4)$ son las únicas soluciones.

Solución. En la ecuación que nos dan podemos despejar \[b^2=\frac{a^3-5a^2+7}{3-a}=f(a)\] siempre que $a\neq 3$. Para $a=3$, la ecuación queda $a^3-5a^2+7=0$, que no tiene soluciones enteras, luego podemos suponer $a\neq 3$. La función $f(a)$ tiende a $-\infty$ cuando $a\to\pm\infty$, lo que nos dice que debería haber pocos valores en los que $f(a)=b^2\gt 0$. Veamos entonces para qué enteros $a$ se cumple que $f(a)\gt 0$.

El numerador de $f(a)$ tiene grado $3$, luego la ecuación $f(a)=0$ tiene a lo sumo tres soluciones reales. Calculamos algunos valores: \[f(-2)=-\tfrac{21}{5}\lt 0,\quad f(-1)=\tfrac{1}{4}\gt 0,\quad f(1)=\tfrac{3}{2}\gt 0,\quad f(2)=-5\lt 0,\] \[f(0)=\tfrac{7}{3}\gt 0,\quad f(4)=9\gt 0,\quad f(5)=-\tfrac{7}{2}\lt 0.\] Como hemos encontrado tres cambios de signo en los puntos en que $f$ es continua (para $a\neq 3$) y no puede haber más, el teorema de Bolzano nos garantiza entonces que $f(a)\lt 0$ para $a\leq -2$ para $a=2$ y para $a\geq 5$, luego las únicas posibilidades son $a=\pm 1$, $a=0$ y $a=4$. Sin embargo, a la vista de los valores dados arriba, sólo $f(4)$ es un cuadrado perfecto. Concluimos de este modo que la ecuación original tiene únicamente las soluciones enteras $(a,b)=(4,\pm 3)$.

Solución. Observamos que el mayor divisor de $n$ es menor o igual que $\frac{n}{2}$, el segundo mayor divisor será menor o igual que $\frac{n}{3}$, el tercero menor o igual que $\frac{n}{4}$ y el cuarto menor o igual que $\frac{n}{5}$. Por lo tanto, se cumple que \[1001=a+b+c+d\leq \frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{4}+\frac{n}{5}=\frac{77}{60}n\ \Longleftrightarrow\ n\geq 780.\] Buscamos, por tanto, un número mayor o igual que $780$. Como $780$ resulta ser divisible entre $2,3,4,5$, la desigualdad anterior se convierte en una igualdad la igualdad si tomamos \[a=\frac{780}{2}=390,\qquad b=\frac{780}{3}=260,\qquad c=\frac{780}{4}=195,\qquad d=\frac{780}{5}=156,\] lo que demuestra que $n=780$ es el número que buscamos.