Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar el mayor valor que puede tomar $m^3+n^3$, siendo $m$ y $n$ enteros entre $1$ y $1981$ tales que $(n^2-mn-m^2)^2=1$.

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Si $q$ y $r$ son el cociente y el resto de la división de $a^2+b^2$ entre $a+b$, determinar todos los pares $(a,b)$ para los que $q^2+r=1977$.

Para cada entero $n\gt 2$, definimos $V_n$ como el conjunto de los enteros de la forma $1+kn$, siendo $k$ un entero positivo. Un elemento de $V_n$ se dice indescomponible si no se puede expresar como producto de dos elementos de $V_n$. Demostrar que existe un elemento $r$ de $V_n$ que se puede expresar como producto de elementos indescomponibles de $V_n$ de más de una forma distinta (se entiende que reordenar los factores produce la misma descomposición).

Una cierta caja rectangular puede rellenarse completamente con cubos de lado $1$, pero si la intentamos rellenar con cubos de volumen $2$ con aristas paralelas a las aristas de la caja, podemos llenar un máximo del $40\%$ del volumen total de la caja. Determinar las posibles dimensiones de la caja.