Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, tenemos que \[\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\gt\frac{4}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=4(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).\] Sumando estas desigualdades para $n$ desde $1$ a $9999$, en el miembro de la derecha los términos se cancelan dos a dos menos el primero y el último, y tenemos que \[2S-1-\frac{1}{100}\gt 400-4\ \Leftrightarrow\ S\gt 198.505.\] Consideremos ahora las desigualdades \[\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{2}{2\sqrt{n+1}}\lt \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\] y las sumamos para $n$ desde $1$ hasta $9999$, con lo que obtenemos \[S-1\lt 200-2\ \Leftrightarrow\ S\lt 199.\] Por lo tanto, deducimos que que la parte entera de $S$ es $198$.

Nota. El valor exacto de $S$ con tres cifras decimales es $198.545$.

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, que es decreciente para $x\gt 0$. El área bajo la curva $y=f(x)$ en el intervalo $[1,10000]$ se puede acotar superiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base el intervalo $[n,n+1]$ y altura $f(n)$ e inferiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base $[n,n+1]$ y altura $f(n+1)$ para $n$ entre $1$ y $9999$. Por lo tanto, tenemos que \[S-1\lt \int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}\lt S-\frac{1}{100}.\qquad(\star)\] Las desigualdades son estrictas ya que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Ahora calculamos la integral inmediata \[\int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=\left[2\sqrt{x}\right]_1^{10000}=200-2=198.\] Ahora las desigualdades marcadas con $(\star)$ nos dicen que $198\lt S\lt 199$, de donde deducimos que la parte entera de $S$ es $198$.

Solución. Los números del $0$ al $2^k-1$ son los números que tienen $k$ o menos cifras en binario, lo que equivale a una sucesión de $k$ dígitos $0$ o $1$ si permitimos ceros a la izquierda. Queremos ver cuántos unos hay de entre todas esas sucesiones, para lo que haremos el siguiente truco: en total hay $k\cdot 2^k$ dígitos entre todas las sucesiones y, como el cero y el uno ocurren el mismo número de veces, habrá $k\cdot 2^{k-1}$ ceros y $k\cdot 2^{k-1}$ unos. En otras palabras, hemos visto que $s(0)+s(1)+\ldots+s(2^k-1)=k\cdot 2^{k-1}$. Si tenemos en cuenta que $s(0)=0$ y $s(2^k)=1$, obtenemos que $\sigma(k)=k\cdot 2^{k-1}+1$.

Solución. Supongamos por reducción al absurdo que existen un par de segmentos con esta propiedad en el plano. Podemos trasladarlos de forma que el origen sea extremo de ambos ya que se trataría de traslaciones de vector de coordenadas enteras y no varía que los extremos tienen coordenadas enteras ni la longitud ni el ángulo que forman. Pongamos que los nuevos extremos (distintos del origen) son $(a,b)$ y $(c,d)$, luego tendrían un ángulo de $45^\circ$ si y solo si \[\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(45^\circ)=\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}.\] El miembro de la izquierda es irracional pero el de la derecha no (puesto que $\sqrt{a^2+b^2}$ y $\sqrt{c^2+d^2}$ son las longitudes de los segmentos y, por tanto, enteros). Exactamente el mismo razonamiento funciona en el espacio y nos da una respuesta también negativa.