Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar un entero positivo $n$ de $1000$ cifras, todas distintas de cero, con la siguiente propiedad: es posible agrupar las cifras de $n$ en $500$ parejas de tal manera que si multiplicamos las dos cifras de cada pareja y sumamos los 500 productos obtenemos como resultado un número $m$ que es divisor de $n$.

Diremos que un entero positivo es tico si la suma de sus dígitos (en base 10) es múltiplo de 2003.

1. Demostrar que existe un entero positivo $N$ tal que sus primeros 2003 múltiplos $N,2N,\ldots, 2003N$ son todos ticos.
2. ¿Existe algún entero positivo $N$ tal que todos sus multiplos sean ticos?

Dados dos números enteros no negativos $m$ y $n$, con $m\gt n$, se dirá que $m$ termina en $n$ si es posible borrar algunos dígitos de izquierda a derecha de $m$ para obtener $n$ (por ejemplo, $329$ termina en $9$ y en $29$ únicamente). Determine cuántos números de tres dígitos terminan en el producto de sus dígitos.

La OMCC es una competición anual de matemáticas. En el año 2007 se lleva a cabo la novena olimpiada. ¿Para qué enteros positivos $n$ se cumple que $n$ divide al año en que se realiza la $n$-ésima olimpiada?

Se dice que un entero positivo $N$ es interoceánico si, al descomponer en factores primos $N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$, se cumple que \[x_1+x_2+\ldots+x_k=p_1+p_2+\ldots+p_k.\] Encontrar todos los números interoceánicos menores que $2020$.