Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si llamamos $n$ al número en cuestión, la condición del enunciado nos dice que $n^2-n=n(n-1)$ debe ser múltiplo de $100000=2^5\cdot 5^5$. Como $n$ y $n-1$ son primos entre sí, uno de ellos debe ser múltiplo de $2^5=32$ y el otro un múltiplo (impar) de $5^5=3125$. Distingamos las dos posibilidades:

• Si $n=3125k$, entonces $n-1=3125k-1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, lo cual equivale a que $21k\equiv 1\ (\text{mod }32)$. El inverso de $21$ módulo $32$ es $29$ (¿sabrías calcularlo?), luego tenemos que $k\equiv 29\ (\text{mod }32)$, es decir, $n=3125(32j+29)=100000j+90625$ para cierto entero $j$. Como $n$ debe tener cinco cifras, necesariamente $j=0$ y debe ser $n=90625$.
• Si $n-1=3125k$, entonces $n=3125k+1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, luego $21k\equiv -1\ (\text{mod }32)$ y obtenemos $k\equiv -29\equiv 3\ (\text{mod }32)$. Esto nos dice que $n=3125(32j+3)+1=100000j+9376$ para cierto entero $j$, luego debe ser $j=0$ y $n=9376$.

Aunque lo anterior ya nos lo confirma, no está de más comprobar que tanto $n=90625$ como $n=09376$ cumplen la condición del enunciado, aunque habría que descartar el segundo si no lo admitimos como número de $5$ cifras.

Solución. Sean $a$ y $b$ el número de tebeos de Antonio y José, respectivamente. Sabemos entonces que $a=7x+4$ y $b=8y+4$ para ciertos enteros $x$ e $y$, luego $a+b=7x+8y+8=160$, lo que nos da la ecuación diofántica lineal $7x+8y=152$. Esta ecuación tiene solución puesto que $\mathrm{mcd}(7,8)=1$ divide a $152$. Además, es fácil encontrar enteros $u,v$ tales que $7u+8v=1$, por ejemplo $u=-1$ y $v=1$ (en general, se pueden encontrar utilizando el algoritmo extendido de Euclides). Por lo tanto, la solución general de la ecuación lineal es $x=-152+8k$ e $y=152-7k$ para todo $k\in\mathbb{Z}$.

Queda por ver qué soluciones no negativas tiene esta ecuación, esto es, debe cumplirse que $x=-152+8k\geq 0$ e $y=152-7k\geq 0$, lo que nos da $19\leq k\leq\frac{152}{7}=21.7$, luego tenemos tres soluciones:

• Si $k=19$, entonces $x=0$ e $y=19$, luego Antonio tiene $a=7x+4=4$ tebeos y José tiene $b=8y+4=156$ tebeos.
• Si $k=20$, entonces $x=8$ e $y=12$, luego Antonio tiene $a=7x+4=60$ tebeos y José tiene $b=8y+4=100$ tebeos, que es la solución indicada en el periódico.
• Si $k=21$, entonces $x=16$ e $y=5$, luego Antonio tiene $a=7x+4=116$ tebeos y José tiene $b=8y+4=44$ tebeos.

Deducimos así que el periódico no había contemplado todas las soluciones.

Solución. Si escribimos los cinco enteros como $n-2,n-1,n,n+1,n+2$, obtenemos que \[(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5(n^2+2).\] Por reducción al absurdo, supondremos que se trata de un cuadrado perfecto, pongamos $a^2$. Como $5(n^2+2)$ es múltiplo de $5$, también deber serlo $a^2$, luego podemos escribir $a=5b$ para cierto entero $b$, lo que nos da $n^2+2=5b^2$. El miembro de la derecha en esta última igualdad es múltiplo de $5$ pero el de la derecha es congruente con $2$, $3$ o $1$ módulo $5$ (puesto que el cuadrado $n^2$ sólo puede ser congruente con $0$, $1$ o $4$ módulo $5$). Así, $n^2+2$ nunca es múltiplo de $5$ y hemos llegado a la contradicción que buscábamos.

Solución. Dividiendo los dos polinomios (o bien utilizando el método de Ruffini para evaluar en $n=-2$), obtenemos que \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=n^4-2 n^3-n^2+2 n.\] Este último polinomio se puede factorizar en los enteros sacando factor común $n$ y utilizando de nuevo el método de Ruffini: \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=(n-2)(n-1)n(n+1).\] Como es el producto de 4 enteros consecutivos, al menos dos de ellos serán pares, uno de los cuales ha de ser múltiplo de $4$, luego el resultado es múltiplo de $8$. Por el mismo motivo habrá al menos uno de ellos múltiplo de $3$, luego el resultado es múltiplo de $3\cdot 8=24$.

Nota. No podemos asegurar que haya un factor más grande ya que, para $n=3$ la expresión tiene un valor precisamente de $24$.