Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Si los números racionales $x$ e $y$ verifican \[x^5+y^5=2x^2y^2,\] demostrar que $1-xy$ es el cuadrado de un número racional.

Probar que existen infinitas ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos distintos con $a+b=c+1$ y tales que cada uno de los tres números divide al producto de los otros dos.

El conjunto $T_0$ está formado por todos los números de la forma $(2^k)!$, siendo $k$ un entero no negativo. El conjunto $T_m$ consiste en todas las sumas de elementos distintos de $T_{m-1}$. Demostrar que hay algún número natural que no pertenece a $T_{1987}$.

Dado un entero positivo $n$, demostrar que \[1^{1987}+2^{1987}+\ldots+n^{1987}\] es divisible entre $n+2$.

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$. La sucesión infinita $a_1, a_2,\ldots$ está formada por enteros positivos, cada uno de los cuales tiene al menos tres divisores propios, de modo que, para cada $n\geq 1$, el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$. Determinar todos los valores posibles de $a_1$.