Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Utilizaremos la fórmula conocida para la suma de los primeros $n$ cubos \[1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.\] La suma de la izquierda del enunciado se puede expresar como la anterior suma para $n=p+q+1$ menos esa suma para $n=p-q-2$. Por tanto, podemos expresar la ecuación del enunciado como \[\frac{(p+q+1)^2(p+q+2)^2}{4}-\frac{(p-q-2)^2(p-q-1)^2}{4}=9p^2q^2.\] Podemos factorizar el miembro de la derecha fácilmente al tratarse de una diferencia de cuadrados y, tras simplificar, llegamos a la ecuación equivalente \[(2q+3)(p^2+3q+q^2+2)=9pq^2.\qquad(\star)\] Si ninguno de los primos es $3$, entonces $p^2\equiv 1\pmod 3$ y $q^2\equiv 1\pmod 3$, luego $p^2+3q+q^2+2\equiv 1\pmod 3$ y $2q+3\not\equiv 0\pmod 3$, luego la ecuación $(\star)$ no tiene soluciones. Tenemos entonces dos casos posibles:

• Si $q=3$, la ecuación $(\star)$ queda $p^2-9p+20=0$ tras simplificar, que tiene por soluciones $p=4$ y $p=5$. Nos quedamos únicamente con $p=5$ ya que debe tratarse de un número primo.
• Si $p=3$, entonces $(\star)$ queda $2q^3-18q^2+31q+33=0$. Las únicas posibles soluciones que son números primos son $q=3$ y $q=33$ (divisores primos del término independiente), pero ninguna de ellas cumple la ecuación.

Deducimos que la única solución es $(p,q)=(5,3)$.