Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Dividiendo los dos polinomios (o bien utilizando el método de Ruffini para evaluar en $n=-2$), obtenemos que \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=n^4-2 n^3-n^2+2 n.\] Este último polinomio se puede factorizar en los enteros sacando factor común $n$ y utilizando de nuevo el método de Ruffini: \[\frac{n^5-5n^3+4n}{n+2}=(n-2)(n-1)n(n+1).\] Como es el producto de 4 enteros consecutivos, al menos dos de ellos serán pares, uno de los cuales ha de ser múltiplo de $4$, luego el resultado es múltiplo de $8$. Por el mismo motivo habrá al menos uno de ellos múltiplo de $3$, luego el resultado es múltiplo de $3\cdot 8=24$.

Nota. No podemos asegurar que haya un factor más grande ya que, para $n=3$ la expresión tiene un valor precisamente de $24$.

Solución. Los primeros términos de las sucesiones son \begin{eqnarray*} x_n:&\quad& 1,1,3,5,11,21,43,...\\ y_n:&\quad& 1,7,17,55,161,487,... \end{eqnarray*} Si calculamos los restos módulo 8, la sucesión queda \begin{eqnarray*} x_n\ (\text{mód}\ 8):&\quad& 1,1,3,5,3,5,3,5,...\\ y_n\ (\text{mód}\ 8):&\quad& 1,7,1,7,1,7,1,7,... \end{eqnarray*} Como cada resto sólo depende de los dos anteriores, en cuanto se repite una pareja de restos consecutivos, los demás restos se repiten periódicamente. Como el único resto que aparece en las dos sucesiones es el $1$, deducimos que cualquier número que aparezca en las dos tiene que ser congruente con $1$ módulo $8$, y a la vista de la primera sucesión sólo puede ser el propio $1$.

Nota. Este es el mismo problema que el problema 2 de la USA Mathematical Olympiad de 1973.

Solución. Vamos a hacer inducción sobre $n$. Para $n=1$, tenemos que $A_1=8$ es múltiplo de $8$. Supuesto cierto que $A_n$ es múltiplo de $8$, tenemos que \[A_{n+1}=5^{n+1}+2\cdot 3^n+1=5\cdot 5^n+6\cdot 3^{n-1}+1=5 A_n-4\cdot (3^{n-1}-1)\] también es múltiplo de $8$ (ya que $A_n$ lo es por hipótesis de inducción y $4\cdot (3^{n-1}-1)$ lo es porque $3^{n-1}-1$ es par).