Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos que \begin{align*} (a+b)^2&\leq (a+b)^2+2a+b\lt (a+b)^2+2a+2b+1=(a+b+1)^2,\\ (c+d)^2&\leq (c+d)^2+2c+d\lt (c+d)^2+2c+2d+1=(c+d+1)^2. \end{align*} Por lo tanto, si se cumple $(\star)$, se tiene que $(a+b)^2$ y $(c+d)^2$ son el cuadrado inmediatamente inferior a $(a+b)^2+2a+b=(c+d)^2+2c+d$, luego tiene que ser $(a+b)^2=(c+d)^2$. De aquí deducimos que $a+b=c+d$ ya que se trata de números no negativos y $(\star)$ se reescribe ahora como $2a+b=2c+d$. Restando a esta última igualdad la igualdad $a+b=c+d$, llegamos a que $a=c$, de donde $b=d$ y hemos probado el apartado (a).

Para el apartado (b) podemos hacer algo similar, pero ahora \begin{align*} (a+b)^2&\leq (a+b)^2+3a+b\lt (a+b)^2+4a+4b+4=(a+b+2)^2,\\ (c+d)^2&\leq (c+d)^2+3c+d\lt (c+d)^2+4c+4d+4=(c+d+2)^2. \end{align*} Por tanto, se tiene que $a+b$ y $c+d$ o bien son iguales o bien se diferencian en una unidad. Si son iguales, el razonamiento es el mismo que en el apartado (a). Si se diferencian en una unidad, supondremos que $c+d=a+b+1$ sin perder generalidad (el caso $a+b=c+d+1$ es similar). Entonces la condición dada se reescribe como \[(a+b)^2+3a+b=(a+b+1)^2+2c+a+b+1\ \Leftrightarrow\ b+c+1=0,\] pero esto último es imposible ya que $b$ y $c$ son no negativos.

En cuanto al apartado (c), el mismo razonamiento anterior nos sugiere buscar los números verificando $c+d=a+b+1$, en cuyo caso \[(a+b)^2+4a+b=(a+b+1)^2+3c+a+b+1\ \Leftrightarrow\ a=2b+4c+1.\] Tomando $b=c=1$, esto nos lleva a que $a=7$ y $d=8$. Se comprueba fácilmente que estos números verifican la condición, siendo $a\neq c$ y $b\neq d$.

Solución. Pongamos que el número $N$ se factoriza como $p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$, donde $p_1,\ldots,p_r$ son los factores primos distintos y $e_1,\ldots,e_r$ son enteros positivos. Entonces, el número de divisores de su cuadrado $N^2=p_1^{2e_1}p_2^{2e_2}\cdots p_r^{2e_r}$ viene dado por \[(2e_1+1)(2e_2+1)\cdots(2e_r+1)=63.\] Las factorizaciones de $63$ como producto de números impares son $9\cdot 7$, $21\cdot 3$ y $7\cdot 3\cdot 3$, lo cual se corresponde con las siguientes posibles factorizaciones de $N$: \[N=p_1^4p_2^3,\qquad N=p_1^{10}p_2,\qquad N=p_1^3p_2p_3.\] Además, como $83$ es primo, uno de estos primos tiene que ser $83$. Para obtener el menor número en cada uno de los tres casos, usaremos los números primos más pequeños para los exponentes más grandes y dejaremos el primo $83$ para el exponente más pequeño, lo que nos da los siguientes candidatos a solución del problema: \[N=2^4\cdot 83^3,\qquad N=2^{10}\cdot 83,\qquad N=2^3\cdot 3\cdot 83.\] Claramente, el menor de todos es el último, lo que nos dice que el valor que estamos buscando es $N=2^3\cdot 3\cdot 83=1992$ (¡el año!).

Solución. Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, tenemos que \[\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\gt\frac{4}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=4(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).\] Sumando estas desigualdades para $n$ desde $1$ a $9999$, en el miembro de la derecha los términos se cancelan dos a dos menos el primero y el último, y tenemos que \[2S-1-\frac{1}{100}\gt 400-4\ \Leftrightarrow\ S\gt 198.505.\] Consideremos ahora las desigualdades \[\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{2}{2\sqrt{n+1}}\lt \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\] y las sumamos para $n$ desde $1$ hasta $9999$, con lo que obtenemos \[S-1\lt 200-2\ \Leftrightarrow\ S\lt 199.\] Por lo tanto, deducimos que que la parte entera de $S$ es $198$.

Nota. El valor exacto de $S$ con tres cifras decimales es $198.545$.

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, que es decreciente para $x\gt 0$. El área bajo la curva $y=f(x)$ en el intervalo $[1,10000]$ se puede acotar superiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base el intervalo $[n,n+1]$ y altura $f(n)$ e inferiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base $[n,n+1]$ y altura $f(n+1)$ para $n$ entre $1$ y $9999$. Por lo tanto, tenemos que \[S-1\lt \int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}\lt S-\frac{1}{100}.\qquad(\star)\] Las desigualdades son estrictas ya que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Ahora calculamos la integral inmediata \[\int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=\left[2\sqrt{x}\right]_1^{10000}=200-2=198.\] Ahora las desigualdades marcadas con $(\star)$ nos dicen que $198\lt S\lt 199$, de donde deducimos que la parte entera de $S$ es $198$.

Solución. Los números del $0$ al $2^k-1$ son los números que tienen $k$ o menos cifras en binario, lo que equivale a una sucesión de $k$ dígitos $0$ o $1$ si permitimos ceros a la izquierda. Queremos ver cuántos unos hay de entre todas esas sucesiones, para lo que haremos el siguiente truco: en total hay $k\cdot 2^k$ dígitos entre todas las sucesiones y, como el cero y el uno ocurren el mismo número de veces, habrá $k\cdot 2^{k-1}$ ceros y $k\cdot 2^{k-1}$ unos. En otras palabras, hemos visto que $s(0)+s(1)+\ldots+s(2^k-1)=k\cdot 2^{k-1}$. Si tenemos en cuenta que $s(0)=0$ y $s(2^k)=1$, obtenemos que $\sigma(k)=k\cdot 2^{k-1}+1$.

Solución. Supongamos por reducción al absurdo que existen un par de segmentos con esta propiedad en el plano. Podemos trasladarlos de forma que el origen sea extremo de ambos ya que se trataría de traslaciones de vector de coordenadas enteras y no varía que los extremos tienen coordenadas enteras ni la longitud ni el ángulo que forman. Pongamos que los nuevos extremos (distintos del origen) son $(a,b)$ y $(c,d)$, luego tendrían un ángulo de $45^\circ$ si y solo si \[\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(45^\circ)=\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}.\] El miembro de la izquierda es irracional pero el de la derecha no (puesto que $\sqrt{a^2+b^2}$ y $\sqrt{c^2+d^2}$ son las longitudes de los segmentos y, por tanto, enteros). Exactamente el mismo razonamiento funciona en el espacio y nos da una respuesta también negativa.