Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos por reducción al absurdo que existen un par de segmentos con esta propiedad en el plano. Podemos trasladarlos de forma que el origen sea extremo de ambos ya que se trataría de traslaciones de vector de coordenadas enteras y no varía que los extremos tienen coordenadas enteras ni la longitud ni el ángulo que forman. Pongamos que los nuevos extremos (distintos del origen) son $(a,b)$ y $(c,d)$, luego tendrían un ángulo de $45^\circ$ si y solo si \[\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(45^\circ)=\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}.\] El miembro de la izquierda es irracional pero el de la derecha no (puesto que $\sqrt{a^2+b^2}$ y $\sqrt{c^2+d^2}$ son las longitudes de los segmentos y, por tanto, enteros). Exactamente el mismo razonamiento funciona en el espacio y nos da una respuesta también negativa.

Solución. Dado un número entero $n$ mayor o igual que $11$, podemos escribirlo como $n=10^m a+b$, siendo $1\leq a\leq 9$ la cifra más significativa y $b$ el número formado por el resto de cifras (es decir, el número que resulta de eliminar esta primera cifra).

1. En el primer apartado nos piden encontrar el menor $n$ para el que $b=\frac{1}{5}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=4b$. Para $m=1$, la ecuación nos queda $5a=2b$ y el menor valor de $a$ que cumple esta condición es $a=2$, lo que nos da $b=5$, lo que nos da el número $n=25$. Para $m\geq 2$, claramente se obtiene valores de $n$ mayores (de al menos tres cifras). Por lo tanto, $n=25$ es la solución.
2. El segundo apartado se traduce en $b=\frac{1}{12}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=11b$. Claramente, $10^ma$ no es múltiplo de $11$, luego esta ecuación no tiene soluciones.
3. En el caso general nos queda $b=\frac{1}{k}(10^ma+b)$ o bien $(k-1)b=10^ma$. En particular, para cada elección de $k$ y de $a$ hay un único valor posible de $b$ tal que la cifra de las unidades no es cero (y el resto de valores de $b$ son los que se obtienen añadiendo ceros a la derecha).

Solución. Si llamamos $n$ al número en cuestión, la condición del enunciado nos dice que $n^2-n=n(n-1)$ debe ser múltiplo de $100000=2^5\cdot 5^5$. Como $n$ y $n-1$ son primos entre sí, uno de ellos debe ser múltiplo de $2^5=32$ y el otro un múltiplo (impar) de $5^5=3125$. Distingamos las dos posibilidades:

• Si $n=3125k$, entonces $n-1=3125k-1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, lo cual equivale a que $21k\equiv 1\ (\text{mod }32)$. El inverso de $21$ módulo $32$ es $29$ (¿sabrías calcularlo?), luego tenemos que $k\equiv 29\ (\text{mod }32)$, es decir, $n=3125(32j+29)=100000j+90625$ para cierto entero $j$. Como $n$ debe tener cinco cifras, necesariamente $j=0$ y debe ser $n=90625$.
• Si $n-1=3125k$, entonces $n=3125k+1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, luego $21k\equiv -1\ (\text{mod }32)$ y obtenemos $k\equiv -29\equiv 3\ (\text{mod }32)$. Esto nos dice que $n=3125(32j+3)+1=100000j+9376$ para cierto entero $j$, luego debe ser $j=0$ y $n=9376$.

Aunque lo anterior ya nos lo confirma, no está de más comprobar que tanto $n=90625$ como $n=09376$ cumplen la condición del enunciado, aunque habría que descartar el segundo si no lo admitimos como número de $5$ cifras.

Solución. Sea $x$ el precio de un vaso de limonada, $y$ el precio de un bocadillo y $z$ el precio de un bizcocho. Expresando todo en peniques, tenemos las ecuaciones \[\left.\begin{array}{r}x+3y+7z=14\\x+4y+10z=17\end{array}\right\}\] Restando a la primera ecuación multiplicada por $3$ la segunda multiplicada por $2$, obtenemos $x+y+z=8$, luego la respuesta al apartado (a) es $8$ peniques.

Restando al primera ecuación multiplicada por $5$ la segunda multiplicada por $3$, obtenemos $2x+3y+5z=19$, luego la respuesta al apartado (b) es $1$ chelín y $7$ peniques.