Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todos los números reales $\alpha$ tales que, para cada entero positivo $n$, el entero \[\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\ldots+\lfloor n\alpha\rfloor\] es un múltiplo de $n$.

Nota: $\lfloor z\rfloor$ denota la parte entera de $x$, es decir, el mayor entero que es menor o igual a $z$. Por ejemplo, $\lfloor −\pi\rfloor = −4$ y $\lfloor 2\rfloor = \rfloor 2.9\lfloor = 2$.

Para cada entero $k\geq 2$, determinar todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots\}$ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k−1}x^{k−1} +\ldots + c_1x + c_0$, con $c_0,c_1,\ldots,c_{k−1}$ enteros no negativos, tal que \[P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}\] para todo entero $n\geq 1$.

Determinar todos los enteros compuestos $n\gt 1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1,d_2,\ldots,d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1\lt d_2\lt\cdots\lt d_k=n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1}+d_{i+2}$ para cada $1\leq i\leq k−2$.

Hallar todas las ternas $(a,b,p)$ de números enteros positivos con $p$ primo que satisfacen \[a^p=b!+p.\]

Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demostrar que existe a lo sumo una manera (sin contar rotaciones y reflexiones) de colocar los elementos de $S$ alrededor de una circunferencia de modo que cada producto de dos números que son vecinos sea de la forma $x^2 + x + k$ para algún entero positivo $x$.