Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Dado un número entero $n$ mayor o igual que $11$, podemos escribirlo como $n=10^m a+b$, siendo $1\leq a\leq 9$ la cifra más significativa y $b$ el número formado por el resto de cifras (es decir, el número que resulta de eliminar esta primera cifra).

1. En el primer apartado nos piden encontrar el menor $n$ para el que $b=\frac{1}{5}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=4b$. Para $m=1$, la ecuación nos queda $5a=2b$ y el menor valor de $a$ que cumple esta condición es $a=2$, lo que nos da $b=5$, lo que nos da el número $n=25$. Para $m\geq 2$, claramente se obtiene valores de $n$ mayores (de al menos tres cifras). Por lo tanto, $n=25$ es la solución.
2. El segundo apartado se traduce en $b=\frac{1}{12}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=11b$. Claramente, $10^ma$ no es múltiplo de $11$, luego esta ecuación no tiene soluciones.
3. En el caso general nos queda $b=\frac{1}{k}(10^ma+b)$ o bien $(k-1)b=10^ma$. En particular, para cada elección de $k$ y de $a$ hay un único valor posible de $b$ tal que la cifra de las unidades no es cero (y el resto de valores de $b$ son los que se obtienen añadiendo ceros a la derecha).

Solución. Si llamamos $n$ al número en cuestión, la condición del enunciado nos dice que $n^2-n=n(n-1)$ debe ser múltiplo de $100000=2^5\cdot 5^5$. Como $n$ y $n-1$ son primos entre sí, uno de ellos debe ser múltiplo de $2^5=32$ y el otro un múltiplo (impar) de $5^5=3125$. Distingamos las dos posibilidades:

• Si $n=3125k$, entonces $n-1=3125k-1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, lo cual equivale a que $21k\equiv 1\ (\text{mod }32)$. El inverso de $21$ módulo $32$ es $29$ (¿sabrías calcularlo?), luego tenemos que $k\equiv 29\ (\text{mod }32)$, es decir, $n=3125(32j+29)=100000j+90625$ para cierto entero $j$. Como $n$ debe tener cinco cifras, necesariamente $j=0$ y debe ser $n=90625$.
• Si $n-1=3125k$, entonces $n=3125k+1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, luego $21k\equiv -1\ (\text{mod }32)$ y obtenemos $k\equiv -29\equiv 3\ (\text{mod }32)$. Esto nos dice que $n=3125(32j+3)+1=100000j+9376$ para cierto entero $j$, luego debe ser $j=0$ y $n=9376$.

Aunque lo anterior ya nos lo confirma, no está de más comprobar que tanto $n=90625$ como $n=09376$ cumplen la condición del enunciado, aunque habría que descartar el segundo si no lo admitimos como número de $5$ cifras.

Solución. Sea $x$ el precio de un vaso de limonada, $y$ el precio de un bocadillo y $z$ el precio de un bizcocho. Expresando todo en peniques, tenemos las ecuaciones \[\left.\begin{array}{r}x+3y+7z=14\\x+4y+10z=17\end{array}\right\}\] Restando a la primera ecuación multiplicada por $3$ la segunda multiplicada por $2$, obtenemos $x+y+z=8$, luego la respuesta al apartado (a) es $8$ peniques.

Restando al primera ecuación multiplicada por $5$ la segunda multiplicada por $3$, obtenemos $2x+3y+5z=19$, luego la respuesta al apartado (b) es $1$ chelín y $7$ peniques.

Solución. Sean $a$ y $b$ el número de tebeos de Antonio y José, respectivamente. Sabemos entonces que $a=7x+4$ y $b=8y+4$ para ciertos enteros $x$ e $y$, luego $a+b=7x+8y+8=160$, lo que nos da la ecuación diofántica lineal $7x+8y=152$. Esta ecuación tiene solución puesto que $\mathrm{mcd}(7,8)=1$ divide a $152$. Además, es fácil encontrar enteros $u,v$ tales que $7u+8v=1$, por ejemplo $u=-1$ y $v=1$ (en general, se pueden encontrar utilizando el algoritmo extendido de Euclides). Por lo tanto, la solución general de la ecuación lineal es $x=-152+8k$ e $y=152-7k$ para todo $k\in\mathbb{Z}$.

Queda por ver qué soluciones no negativas tiene esta ecuación, esto es, debe cumplirse que $x=-152+8k\geq 0$ e $y=152-7k\geq 0$, lo que nos da $19\leq k\leq\frac{152}{7}=21.7$, luego tenemos tres soluciones:

• Si $k=19$, entonces $x=0$ e $y=19$, luego Antonio tiene $a=7x+4=4$ tebeos y José tiene $b=8y+4=156$ tebeos.
• Si $k=20$, entonces $x=8$ e $y=12$, luego Antonio tiene $a=7x+4=60$ tebeos y José tiene $b=8y+4=100$ tebeos, que es la solución indicada en el periódico.
• Si $k=21$, entonces $x=16$ e $y=5$, luego Antonio tiene $a=7x+4=116$ tebeos y José tiene $b=8y+4=44$ tebeos.

Deducimos así que el periódico no había contemplado todas las soluciones.