Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que existen infinitos números primos $p$ para los que hay enteros positivos $x$ e $y$ que cumplen $x^2+x+1=py$.

Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que cualquier entero positivo $m\leq n!$ se puede escribir como suma de a lo sumo $n$ factores distintos de $n!$

Para todo entero positivo $n$, dar el valor de la suma \[\sum_{k=0}^\infty\left\lfloor\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right\rfloor.\]

Nota. $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$, el mayor entero menor o igual que $x$.

Encontrar todos los números naturales $x$ tales que el producto de sus dígitos (en notación decimal) es igual a $x^2-10x-22$.

En la succesión de potencias de 2 (escritas en el sistema decimal, comenzando con $2^1 = 2$) hay tres términos de una cifra, otros tres de dos cifras, otros tres de tres, cuatro de cuatro, tres de cinco, etc. Razonar claramente las respuestas a las cuestiones siguientes:

1. ¿Puede haber solamente dos términos con un cierto número de cifras?
2. ¿Puede haber cinco términos con el mismo número de cifras?
3. ¿Puede haber cuatro términos de $n$ cifras, seguidos de cuatro con $n+1$ cifras?
4. ¿Cuál es el número máximo de potencias consecutivas de 2 que pueden encontrarse sin que entre ellas haya cuatro con el mismo número de cifras?