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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
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Problema 1466
ASU, 1968-P9
Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que cualquier entero positivo $m\leq n!$ se puede escribir como suma de a lo sumo $n$ factores distintos de $n!$
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Problema 1460
IMO, 1968-P6
Para todo entero positivo $n$, dar el valor de la suma \[\sum_{k=0}^\infty\left\lfloor\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right\rfloor.\]

Nota. $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$, el mayor entero menor o igual que $x$.

pista
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Pista. Observa que se trata de una suma finita ya que los sumandos son todos cero a partir del menor valor de $k$ que cumpla $2^k\gt n$. ¿Tienen los sumandos algo que ver con la representación de $n$ en base $2$?
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Problema 1456
IMO, 1968-P2
Encontrar todos los números naturales $x$ tales que el producto de sus dígitos (en notación decimal) es igual a $x^2-10x-22$.
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Problema 1453
OME Nacional, 1968-P7
En la succesión de potencias de 2 (escritas en el sistema decimal, comenzando con $2^1 = 2$) hay tres términos de una cifra, otros tres de dos cifras, otros tres de tres, cuatro de cuatro, tres de cinco, etc. Razonar claramente las respuestas a las cuestiones siguientes:
  1. ¿Puede haber solamente dos términos con un cierto número de cifras?
  2. ¿Puede haber cinco términos con el mismo número de cifras?
  3. ¿Puede haber cuatro términos de $n$ cifras, seguidos de cuatro con $n+1$ cifras?
  4. ¿Cuál es el número máximo de potencias consecutivas de 2 que pueden encontrarse sin que entre ellas haya cuatro con el mismo número de cifras?
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Problema 1432
OME Nacional, 1966-P2
Un número de tres cifras se escribe $xyz$ en el sistema de base 7 y $zyx$ en el sistema de base 9 (es decir, sus dígitos aparecen en orden inverso). ¿Cuál es el número?
pistasolución 1info
Pista. El número es $7^2x+7y+z$ y también $9^2z+9y+x$, donde $x,y,z$ son dígitos entre $0$ y $6$.
Solución. La ecuación que nos da se escribe como \[49x+7y+z=81z+9y+x\ \Leftrightarrow\ 40z+y-24x=0.\] Por tanto, $y=8(3x-5z)$ es múltiplo de $8$, lo que nos lleva a que $y=0$ (ya que en base $7$ no puede haber un dígito $8$. Tenemos así que $3x=5z$, luego $x$ tiene que ser múltiplo de $5$ pero no puede ser $x=0$ (ya que el número tiene tres cifras) ni $x\geq 7$ y nos queda que $x=5$, de donde $z=3$. Tenemos así que el número es $503_{(7)}=305_{(9)}=248_{(10)}$.
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