Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que la ecuación \[6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2\] no tiene soluciones enteras salvo $a=b=c=n=0$.

Hallar números enteros $a,b,c,d,e,f$ tales que \[\left|\frac{aR^2+bR+c}{dR^2+eR+f}-\sqrt[3]{2}\right|\lt |R-\sqrt[3]{2}|\] se cumpla para todo número racional no negativo $R$.

Demostrar que \[\frac{(\mathrm{mcm}(a,b,c))^2}{\mathrm{mcm}(a,b)\,\mathrm{mcm}(b,c)\,\mathrm{mcm}(c,a)}=\frac{(\mathrm{mcd}(a,b,c))^2}{\mathrm{mcd}(a,b)\,\mathrm{mcd}(b,c)\,\mathrm{mcd}(c,a)}\] para cualesquiera enteros positivos $a,b,c$.

Determinar todos los números naturales $N$ de tres cifras que son divisibles por $11$ y tales que $N/11$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

Dados dos números naturales $r$ y $s$ primos relativos, diremos que un entero es afable si puede representarse como $mr+ns$, siendo $m$ y $n$ enteros no negativos. Demostrar que podemos encontrar un entero $c$ tal que solo uno de los números $k$ y $c-k$ es bueno para cualquier entero $k$. ¿Cuántos enteros positivos no son afables?