Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
Problema 1432
Un número de tres cifras se escribe $xyz$ en el sistema de base 7 y $zyx$ en el sistema de base 9 (es decir, sus dígitos aparecen en orden inverso). ¿Cuál es el número?
pistasolución 1info
Pista. El número es $7^2x+7y+z$ y también $9^2z+9y+x$, donde $x,y,z$ son dígitos entre $0$ y $6$.
Solución. La ecuación que nos da se escribe como
\[49x+7y+z=81z+9y+x\ \Leftrightarrow\ 40z+y-24x=0.\]
Por tanto, $y=8(3x-5z)$ es múltiplo de $8$, lo que nos lleva a que $y=0$ (ya que en base $7$ no puede haber un dígito $8$. Tenemos así que $3x=5z$, luego $x$ tiene que ser múltiplo de $5$ pero no puede ser $x=0$ (ya que el número tiene tres cifras) ni $x\geq 7$ y nos queda que $x=5$, de donde $z=3$. Tenemos así que el número es $503_{(7)}=305_{(9)}=248_{(10)}$.
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Problema 1412
IMO, 1967-P3
Sean $k,m,n$ enteros positivos tales que $m+k+1$ es un número primo mayor que $n+1$. Sea $c_s=s(s+1)$. Demostrar que el producto
\[(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)\]
es divisible por el producto $c_1c_2\cdots c_n$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1398
OMCC, 2006-P1
Para cada entero $d$, definimos el número
\[S_d=1+d+d^2+\ldots+d^{2006}.\]
Hallar el último dígito de $S_0+S_1+S_2+\ldots+S_9$.
Sin pistas
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Problema 1397
OMCC, 2005-P6
Se tienen $n$ cartas numeradas de $1$ a $n$ y $p$ cajas para guardarlas, siendo $p$ un número primo. Determinar los posibles valores de $n$ para los que se pueden guardar todas las cartas de forma que la suma de las cartas en cada caja sea la misma.
Sin pistas
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Problema 1393
OMCC, 2005-P2
Demostrar que la ecuación
\[a^2b^2+b^2c^2+3b^2-a^2-c^2=2005\]
no tiene soluciones enteras.
Sin pistas
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