Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
Problema 1412
IMO, 1967-P3
Sean $k,m,n$ enteros positivos tales que $m+k+1$ es un número primo mayor que $n+1$. Sea $c_s=s(s+1)$. Demostrar que el producto
\[(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\cdots(c_{m+n}-c_k)\]
es divisible por el producto $c_1c_2\cdots c_n$.
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Problema 1398
OMCC, 2006-P1
Para cada entero $d$, definimos el número
\[S_d=1+d+d^2+\ldots+d^{2006}.\]
Hallar el último dígito de $S_0+S_1+S_2+\ldots+S_9$.
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Problema 1397
OMCC, 2005-P6
Se tienen $n$ cartas numeradas de $1$ a $n$ y $p$ cajas para guardarlas, siendo $p$ un número primo. Determinar los posibles valores de $n$ para los que se pueden guardar todas las cartas de forma que la suma de las cartas en cada caja sea la misma.
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Problema 1393
OMCC, 2005-P2
Demostrar que la ecuación
\[a^2b^2+b^2c^2+3b^2-a^2-c^2=2005\]
no tiene soluciones enteras.
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Problema 1392
OMCC, 2005-P1
Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos que pueden expresarse como suma de $2005$ enteros consecutivos, no necesariamente positivos. ¿Cuál ocupa la posición $2005$?
pistasolución 1info
Pista. Escribe los 2005 números como $n-1002,n-1001,\ldots,n+1002$ para cierto entero $n$, lo que facilita mucho calcular su suma explícitamente.
Solución. Pongamos que los $2005$ enteros consecutivos son
\[n-1002,n-1001,\ldots,n-1,n,n+1,\ldots,n+1002.\]
Al sumarlos todos queda $2005n$ ya que se cancelan sumandos por parejas (el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente) de forma que la suma equivale a sumar $2005$ veces el número central $n$. Vemos así que los números que se expresan de esta forma son los múltiplos de $2005$. El que ocupa la posición $2005$ de entre los positivos es claramente $2005\cdot 2005=2005^2$.
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