Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pongamos que los $2005$ enteros consecutivos son \[n-1002,n-1001,\ldots,n-1,n,n+1,\ldots,n+1002.\] Al sumarlos todos queda $2005n$ ya que se cancelan sumandos por parejas (el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente) de forma que la suma equivale a sumar $2005$ veces el número central $n$. Vemos así que los números que se expresan de esta forma son los múltiplos de $2005$. El que ocupa la posición $2005$ de entre los positivos es claramente $2005\cdot 2005=2005^2$.

Solución. Podemos calcular fácilmente los cuatro últimos dígitos de cada factorial (no es necesario hallar el resto de dígitos para este cálculo ya que cada factorial sólo depende los últimos cuatro dígitos del factorial precedente): \begin{align*} 1!&=\ldots 0001,&5!&=\ldots 0120,&9!&=\ldots 2800,&13!&=\ldots 0800,\\ 2!&=\ldots 0002,&6!&=\ldots 0720,&10!&=\ldots 8800,&14!&=\ldots 1200,\\ 3!&=\ldots 0006,&7!&=\ldots 5040,&11!&=\ldots 6800,&15!&=\ldots 8000.\\ 4!&=\ldots 0024,&8!&=\ldots 0320,&12!&=\ldots 1600,&& \end{align*} Observamos entonces que una forma de obtener los cuatro últimos dígitos iguales a $2001$ es tomar $1!+13!+14!$ con $n=3$. No es posible obtener los mismos últimos dígitos con solo dos sumandos ya que necesariamente uno de los dos números tendría que ser $1$ (el único cuyo factorial es impar) y no hay ningún otro en la lista cuyos últimos cuatro dígitos sean $2000$.