Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
Problema 1387
OMCC, 2004-P2
Se define una sucesión $a_0, a_1, a_2,\ldots$ de la siguiente manera: $a_0 = a_1 = 1$ y, para todo $k\geq 2$, se cumple que $a_k = a_{k−1} + a_{k−2} + 1$. Determinar cuántos enteros entre $1$ y $2004$ se pueden expresar de la
forma $a_m + a_n$ con $m$ y $n$ enteros positivos y $m\neq n$.
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Problema 1383
OMCC, 2001-P4
Determinar el menor entero positivo $n$ para el cual existan enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ menores o iguales que $15$ (no necesariamente distintos) tales que los cuatro últimos dígitos
de la suma $a_1!+a_2!+\ldots+a_n!$ sean $2001$.
pistasolución 1info
Pista. Escribe las últimas 4 cifras de cada factorial entre $1!$ y $15!$.
Solución. Podemos calcular fácilmente los cuatro últimos dígitos de cada factorial (no es necesario hallar el resto de dígitos para este cálculo ya que cada factorial sólo depende los últimos cuatro dígitos del factorial precedente):
\begin{align*}
1!&=\ldots 0001,&5!&=\ldots 0120,&9!&=\ldots 2800,&13!&=\ldots 0800,\\
2!&=\ldots 0002,&6!&=\ldots 0720,&10!&=\ldots 8800,&14!&=\ldots 1200,\\
3!&=\ldots 0006,&7!&=\ldots 5040,&11!&=\ldots 6800,&15!&=\ldots 8000.\\
4!&=\ldots 0024,&8!&=\ldots 0320,&12!&=\ldots 1600,&&
\end{align*}
Observamos entonces que una forma de obtener los cuatro últimos dígitos iguales a $2001$ es tomar $1!+13!+14!$ con $n=3$. No es posible obtener los mismos últimos dígitos con solo dos sumandos ya que necesariamente uno de los dos números tendría que ser $1$ (el único cuyo factorial es impar) y no hay ningún otro en la lista cuyos últimos cuatro dígitos sean $2000$.
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Problema 1382
OMCC, 2001-P3
Encontrar todos los cuadrados perfectos $N$ tales que solo dos de los dígitos de $N$ son distintos de cero y uno de ellos es $3$.
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Problema 1379
OMCC, 2000-P6
Al escribir un entero $n\geq 1$ como potencia de $2$ o como suma de potencias de $2$, donde cada potencia aparece a lo más dos veces en la suma, se tiene una representación de $n$ que llamaremos buena. Además, dos representaciones buenas que difieran solo en el orden de los sumandos se consideran la misma.
- Escribe las 5 representaciones buenas de 10.
- ¿Qué enteros positivos admiten un número par de representaciones buenas?
Sin pistas
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Problema 1374
OMCC, 2000-P1
Encontrar todos los números naturales de tres dígitos $abc$ (con $a\neq 0$) tales que $a^2+b^2+c^2$ es un divisor de $26$.
pistasolución 1info
Pista. No te llevará mucho tiempo analizar cada divisor de $26$ por separado.
Solución. Como $26=2\cdot 13$, llegamos fácilmente a que los únicos divisores positivos de 26 son $\{1,2,13,26\}$. Distingamos los cuatro casos:
- Si $a^2+b^2+c^2=1$, entonces uno de los tres dígitos es igual a 1 y el resto a 0, lo que nos lleva a la única solución $(a,b,c)=(1,0,0)$ ya que debe ser $a\neq 0$.
- Si $a^2+b^2+c^2=2$, entonces dos de los tres dígitos son iguales a 1 y el tercero a 0, lo que nos da dos soluciones: $(a,b,c)=(1,1,0)$ y $(a,b,c)=(1,0,1)$, de nuevo porque $a\neq 0$.
- Si $a^2+b^2+c^2=13$, entonces los dígitos están entre 0 y 3, pero no pueden ser todos menores o iguales que 2 puesto que entonces $a^2+b^2+c^2\leq 12$. Por tanto, uno de ellos es 3 y la suma de los cuadrados de los otros dos es 4, lo que lleva claramente a que sean 2 y 0. Tenemos así cuatro posibles soluciones: $(3,2,0)$, $(2,3,0)$, $(3,0,2)$ y $(2,0,3)$ ya que $a\neq 0$.
- Finalmente, si $a^2+b^2+c^2=26$, todos los dígitos están entre 0 y 5. Si uno de ellos es 5, los otros deben ser 1 y 0. Si uno de ellos es 4, los otros deben ser 3 y 1. Si el mayor es 3, entonces los cuadrados de los otros dos deben sumar 17, pero esto no es posible. Tampoco hay soluciones si el mayor es menor o igual que 2, como en el caso anterior.
En resumen, hemos encontrado los diecisiete números que cumplen la condición del enunciado: 100, 101, 105, 110, 134, 143, 150, 203, 230, 302, 314, 320, 341, 413, 431, 501 y 510.
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