Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que, para todo entero positivo $n$, el número \[A_n=5^n+2\cdot 3^{n-1}+1\] es un múltiplo de $8$.

Para cada número natural $n$, demostrar que hay un enteros divisible por $2^n$ que solo se escribe con dígitos $1$ y $2$ en el sistema decimal.

En el conjunto de los enteros positivos cuya representación en el sistema decimal tiene $n$ dígitos o menos, definimos $S$ y $T$ como los subconjuntos formados por aquellos en que la suma de los dígitos es par e impar, respectivamente. Demostrar que la suma de las potencias $k$-ésimas de los elementos de $S$ es igual a la suma de las potencias $k$-ésimas de los elementos de $T$ para cualquier exponente entero $1\leq k\lt n$.

Dado un entero positivo $n$, probar que se pueden encontrar infinitos enteros $m$ cuya expresión decimal no tiene ceros y cuya suma de dígitos coincide con la suma de los dígitos de $mn$.

Determinar el conjunto de enteros positivos $n$ con la propiedad de que el conjunto $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ puede descomponerse en dos subconjuntos tales que los productos de los elementos de cada subconjunto son iguales.